Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 31.1.2014 (13:24)

  Załącznik "cam00710.jpg"
  
  Rysunek po lewej stronie:
  
  Trójkąt na rysunku jest równoramienny (dwa boki równe promieniom okręgu).
  Więc
  Kąty trójkąta inne niż alfa wynoszą: (180 - alfa) / 2 = 90 - alfa / 2
  Zielony kąt uzupełnia jeden z tych kątów do 90 stopni,
  bo styczna do okręgu jest prostopadła do promienia. Wobec tego:
  
  zielony kąt = 90 - ( 90 - alfa / 2 ) = alfa / 2
  
  
  Rysunek po prawej stronie:
  
  Z powodów jak na poprzednim rysunku kąt uzupełniający zielony kąt do 90 stopni
  jest równy beta, więc
  
  zielony kąt = 90 - beta
  
  (a styczna jest równoległa do zaznaczonej średnicy okręgu, choć tego nie zakładaliśmy).
  ========================
  
  Załącznik "cam00711.jpg"
  
  Rysunek po lewej stronie:
  
  Wygodnie będzie dodać kilka liter. Oznacz na rysunku:
  Środek okręgu przez S ; punkt styczności prostej i okręgu przez A,
  wierzchołek z kątem gamma przez B, pozostały wierzchołek trójkąta przez C.
  Poza tym na stycznej po stronie zielonego kąta zaznacz gdzieś punkt D.
  
  Jest takie twierdzenie:
  "Kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych są równe".
  Zobacz kąty: CAD (ten zielony) i SAB.
  Ramię SA jest prostopadłe do DA (styczna prostopadła do promienia)
  Ramię CA jest prostopadłe do BA (bo trójkąt ABC zawiera średnicę BC)
  
  Wobec tego kąt SAB jest równy zielonemu kątowi.
  Ale kąt SAB = gamma, bo trójkąt SAB jest równoramienny, więc
  
  zielony kąt = gamma
  
  Rysunek po prawej stronie:
  
  Dorysuj promienie od punktów styczności do środka okręgu. Oznacz:
  Środek okręgu przez S, dolny punkt styczności przez A, górny przez B,
  punkt przy kącie delta przez C i punkt przy zielonym kącie przez D.
  
  Zauważ, że trójkąty ADS i BDS są przystające, bo:
  są prostokątne i mają równe boki SA i SB oraz wspólny bok SD.
  
  W czworokącie ASBD mamy 2 kąty proste więc
  zielony kąt = 360 - 2 * 90 - kąt ASB = 180 - kąt ASB
  
  Ale kąt ASB = 2 * delta gdyż jest oparty na tej samej cięciwie AB, stąd:
  
  zielony kąt = 180 - 2 * delta.
  ========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie