Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 1

  antekL1 31.1.2014 (00:31)

  Zrób proszę rysunek:
  Narysuj fragment łuku okręgu i jego środek O.
  Stoisz w punkcie A na tym łuku.
  Narysuj odcinek OA, oznacz go R - to jest promień Ziemi.
  Przedłóż OA małym odcinkiem AB nad "powierzchnię" Ziemi.
  To obserwator, oznacz jego wysokość przez H.
  Z punktu B narysuj styczną do łuku, punkt styczności oznacz C.
  Dorysuj promień OC. Oznacz kąt BOC przez \alpha.
  
  Trójkąt OBC jest prostokątny, więc:
  
  \frac{R}{R+H} = \cos\alpha
  
  W porównaniu z rozmiarami Ziemi łuk AC jest praktycznie linią prostą.
  Jego długość to właśnie odległość do horyzontu.
  Jeżeli \alpha wyrazimy w mierze łukowej to
  
  |AC| = R\,\alpha = R\,\arccos\left(\frac{R}{R+H}\right)
  
  Mamy ogólne rozwiązanie zadania. Podstawiamy dane.
  Trzeba dokładnie liczyć arccos i pamiętać, że kąt ma być w radianach.
  R = 6371000 m
  
  a)
  h = 1,5 m
  
  |AC| = 6371000\cdot\arccos\left(\frac{6371000}{6371000+1{,}5}\right)\,\approx\,4400\,\mbox{m}
  
  b)
  h = 15 m
  
  |AC| = 6371000\cdot\arccos\left(\frac{6371000}{6371000+15}\right)\,\approx\,13800\,\mbox{m}
  
  c)
  h = 1000 m
  
  |AC| = 6371000\cdot\arccos\left(\frac{6371000}{6371000+1000}\right)\,\approx\,113000\,\mbox{m} = 113\,\mbox{km}
  
  W tym ostatnim przypadku do horyzontu jest około 113 km,
  więc odpowiedź na pytanie brzmi TAK.
  Sprawdźmy na ile dobre jest w tym wypadku przybliżenie AC przez odcinek.
  Kąt \alpha wynosi w tym wypadku 0,0177167 (około 1 stopień),
  a długość odcinka AC, gdyby był linią prostą, nie łukiem to:
  
  |AC| = 2R\sin(\alpha/2) = 2\cdot 6371000\cdot\sin(0{,}0177167/2)\,\approx\,113000
  
  Przy stosowanym tutaj przybliżeniu nie ma różnicy, dokładne wartości to:
  |AC| = 112873 m jako łuk i 112872 m jako odcinek.
  Błąd jest do pominięcia; i tak promień Ziemi nie jest podany dokładnie.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie