Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 22.1.2014 (11:10)

  Oznaczenia jak w zadaniu, szukamy częstotliwości "f".
  Dodatkowo oznaczmy g = 9,81 m/s^2 - przyspieszenie ziemskie
  
  Zadanie rozwiązujemy w układzie obracającym się, w którym działają:
  
  - siła ciężkości Q = m g [ gdzie m - masa kulki ], pionowo w dół
  - siła ODśrodkowa F, poziomo, prostopadle i przeciwnie do osi obrotu
  - siła naprężenia nici N, skierowana w górę i na ukos, wzdłuż nitki.
  
  Zrób rysunek, powiedzmy, że kulka jest odchylona w lewo,
  wtedy Q działa w dół, F - w lewo poziomo, N - w prawo, w górę na ukos.
  
  WAŻNE:
  Wypadkowa sił F i Q MUSI równoważyć siłę N, więc MUSI być skierowana
  równolegle do nici..
  1) Musi równoważyć N, bo wybraliśmy układ ruchomy, wypadkowa sił musi dawać zero, w tym układzie kulka jest nieruchoma. Przykład: gdy jedziesz na karuzeli to nie poruszasz się względem krzesełka, działające na Ciebie siły znoszą się.
  2) Musi być równoległa do N. Gdyby tak nie było to istniałaby składowa prostopadła do nici, która powodowałaby zmianę kąta alfa dotąd, aż wypadkowa stałaby się równoległa do N. Przykład: gdy karuzela się rozpędza to krzesełka odchylają się do ukosu.
  
  Z rysunku wynika, że:
  
  \frac{F}{Q} = \mbox{tg}\,\alpha
  
  Wystarczy teraz wyrazić F przez częstotliwość f
  (poniżej "omega" to prędkość kątowa, wzór znasz ze szkoły średnie)
  
  F = m\omega^2 r = m\,(2\pi f)^2\,r
  
  gdzie r = L * sin(alfa) - promień okręgu zataczanego przez kulkę.
  
  Wstawiamy F i Q do poprzedniego wzoru, pamiętaj, że: tg = sin / cos
  
  
  \frac{m\,(2\pi f)^2\,L\sin\alpha}{mg} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
  
  stąd po uproszczeniu sinusa oraz m
  
  f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L\cos\alpha}}
  
  Jeszcze wymiar wyniku:
  
  [f] = \sqrt{\frac{m/s^2}{m}} = \sqrt{1/s^2} = 1/s = Hz
  
  +++++++++++++ poza rozwiązaniem +++++++++++++
  Zauważ, że gdy alfa dąży do 90 stopni to kosinus dąży do zera
  a wtedy f dąży do nieskończoności, nigdy nie da się tak rozpędzić kulki,
  aby przyjęła położenie poziome.
  
  Zauważ, że gdy alfa = 0 to częstotliwość jest taka sama, jak częstotliwość
  wahadła matematycznego o długości L. To jest nieco zaskakujące,
  bo gdy spojrzymy na ruch kulki z boku to zawsze porusza się ona ruchem harmonicznym (cień ruchu po okręgu na prostopadłą płaszczyznę zachowuje się jak sinus), ale pamiętaj, że wzór na wahadło matematyczne obowiązuje dla nieskończenie małych wychyleń, właśnie dla kąta alfa dążącego do zera).
  
  +++++++++++++ W razie pytań pisz na priv +++++++++++++++++
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie