Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 10.1.2014 (07:32)

  Myślę, że funkcja to: f(x) = 3x^2 / (1 - x^2)
  (dodałem nawiasy ograniczające mianownik i zapisałem kwadrat jako ^2)
  czyli:
  
  f(x) = \frac{3x^2}{1-x^2}
  
  Jeśli nie, to rozwiązanie dalej jest błędne.
  ==================================================
  
  Dziedzina:
  Mianownik, zapisywany jako: 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) ma być niezerowy,
  czyli wykluczamy x = 1 oraz x = -1
  D = R \ {-1; 1}
  
  Jedyne miejsce zerowe (gdy licznik = 0), a także przecięcie z osią OY to
  x = 0
  
  Funkcja ma dwie asymptoty pionowe w punktach, gdzie mianownik dąży do zera:
  x = -1 oraz x = 1
  
  Asymptota pozioma: Zapiszmy równanie funkcji tak, dzieląc przez x^2
  
  f(x) = \frac{3}{\frac{1}{x^2} - 1}
  
  Gdy x--> oo (ujemnej lub dodatniej) czynnik 1/x^2 dąży do zera
  i cała funkcja dąży do 3 / (-1) = -3
  Asymptota pozioma: y = - 1
  
  Liczymy pochodną:
  
  f'(x) = \frac{6x(1-x^2) - 3x^2(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{6x}{(1-x^2)^2}
  
  Mianownik f ' (x) jest zawsze dodatni, pochodna jest ujemna dla x < 0
  oraz dodatnia dla x > 0 czyli w x = 0 mamy minimum. Wnioski:
  
  funkcja jest malejąca w przedziale x należy do (-oo; -1) U (-1; 0)
  funkcja jest rosnąca w przedziale x należy do (0; 1) U (1; +oo)
  funkcja ma minimum w x = 0. W minimum f(0) = 0.
  
  Tabelka, to trudno zapisać, poza tym nie wiem jak Wy to robicie.
  Ja bym w pierwszym wierszu zaznaczył takie kratki:
  
  -oo [puste] 1 [puste] 0 [puste] 1 [puste] +oo
  
  a w drugim wierszu ( \ to strzałka w dół, / to strzałka w górę )
  
  -3 \ [puste] \ 0 / [puste] / -3
  
  Wykres masz w załączniku, UWAGA! osie pionowa i pozioma mają inne skale.
  Pionowe linie w x = -1 i x = +1 to asymptoty.
  
  Ok, jeszcze punkty przegięcia i wypukłość. Liczymy drugą pochodną:
  
  f''(x) = \frac{6(1-x^2)^2 - 2x\cdot 6(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{6(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}
  
  Licznik jest zawsze dodatni a mianownik (i cała druga pochodna) jest:
  dodatni dla x z przedziału (-1 ; 1)
  ujemny dla x z przedziału (-oo ; -1) U (1 ; +oo)
  
  Nie ma punktów przegięcia.
  Wypukła / wklęsła - nigdy nie pamiętam czy wypukła jest funkcja gdy f ' ' (x) > 0,
  czy odwrotnie. W każdym razie wiesz, jaki jest znak drugiej pochodnej,
  dobierz sobie wypukłość do właściwego znaku.
  
  W razie pytań pisz na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie