Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 8.1.2014 (20:13)

  UWAGA! NIE przepisuj moich komentarzy (one są dla Ciebie), tylko obliczenia.
  =======================================
  
  Zad 1.
  Zapiszmy szukaną liczbę jako: ab
  gdzie a jest cyfrą dziesiątek (od 1 do 9), b jest cyfrą jedności (od 0 do 9).
  Liczba ta ma wartość: 10a + b
  Przykład: Liczba 36: a = 3, b = 6. Można 36 zapisać tak: 10 * 3 + 6 = 36
  
  Jeżeli przestawimy cyfry to liczba wygląda tak: ba
  a jej wartość to: 10b + a
  Przykład: Liczba 36 po przestawieniu to 63 czyli 10 * 6 + 3.
  
  Wiemy, że dostaliśmy liczbę mniejszą o 27 czyli:
  
  10a + b = 10b + a + 27 <------------- podstawowe równanie.
  
  Wiemy też, że suma cyfr wynosi 13, czyli
  a + b = 13 ; stąd:
  b = 13 - a <--------------------- wstawiamy "b" do podstawowego równania:
  
  10a + (13 - a) = 10 (13 - a) + a + 27 ; wymnażamy nawias z prawej strony
  10a + 13 - a = 130 - 10a + a + 27 ; porządkujemy
  18a = 144
  a = 144 / 18 = 8 <--------- to jest pierwsza cyfra, a druga to b = 13 - 8 = 5.
  
  Szukana liczba to 85.
  
  Sprawdzamy: Po przestawieniu z 85 robi się 58.
  85 - 58 = 27. Zgadza się.
  =======================================
  
  Zad. 2.
  Ponownie zapisujemy szukaną liczbę jako ab, czyli wartość liczby to 10a + b,
  oraz suma jej cyfr to a + b.
  Wiemy, że suma cyfr jest 4 razy mniejsza od szukanej liczby czyli:
  
  10a + b = 4(a + b) <------------- mamy pierwsze równanie.
  
  Wstawiamy zero pomiędzy cyfry, mamy liczbę: a0b.
  Teraz "a" jest na pozycji setek, wartość liczby to: 100a + b.
  Wiemy, że jest ona 8,5 raza większa od liczby ab (o wartości 10a + b) czyli:
  
  100a + b = 8,5 * (10a + b) <------------ drugie równanie
  
  Z drugiego równania wyliczamy "b". Najpierw wymnażamy nawias:
  100a + b = 85a + 8,5b ; porządkujemy
  15a = 7,5b
  b = (15 / 7,5) a
  b = 2a <------------------------ wstawiamy to "b" do pierwszego równania:
  
  10a + 2a = 4(a + 2a) ; wymnażamy nawias
  10a + 2a = 4a + 8a
  12a = 12a
  
  Dostaliśmy TOŻSAMOŚĆ.
  Oznacza to, że jest WIELE liczb, które mogą spełniać warunki zadania,
  byle zachodziłoby b = 2a. Są to: 12, 24, 36, 48
  
  Faktycznie: Suma cyfr liczby 12 wynosi 3 i jest to czwarta część 12, itd
  
  Zobaczmy, co stanie się po wstawieniu zera między cyfry:
  Dla 12 dostajemy 102. Sprawdzamy: 102 / 12 = 8,5. Zgadza się.
  Dla 24 dostajemy 204. Sprawdzamy: 204 / 24 = 8,5. Zgadza się.
  Dla 36 dostajemy 306. Sprawdzamy: 306 / 36 = 8,5. Zgadza się.
  Dla 48 dostajemy 408. Sprawdzamy: 408 / 48 = 8,5. Zgadza się.
  
  Czyli zadanie ma aż 4 rozwiązania: 12, 24, 36, 48
  =======================================
  
  Zad. 3.
  W sumie "części" jest 3 + 1 = 4
  Dzielimy 20 na 4, co daje objętość jednej "części" równą 5 litrów, więc:
  kwasu solnego jest 15 litrów, a azotowego 5 litrów.
  Faktycznie - stosunek 15 : 5 = 3 : 1.
  =======================================
  
  Zad. 4.
  Oznaczmy przez "x" ilość dwugroszówek, wtedy 30 - x to ilość pięciogroszówek.
  W sumie mają dawać one 100 groszy czyli:
  
  2x + 5 (30 - x) = 100 ; wymnażamy nawias
  2x + 150 - 5x = 100 ; porządkujemy
  50 = 3x
  x = 50 / 3
  NIE jest to liczba całkowita więc nie istnieje taka liczba dwugroszówek.
  Odpowiedź do zadania: NIE można.
  =======================================
  
  Zad. 5.
  Dla odmiany to zadanie rozwiążemy "na logikę" bo jest tylko kilka możliwości.
  Z drugiego zdania wynika, że ilość córek jest parzysta (bo można wziąć połowę ich ilości). Ponieważ Pani Basia ma co najmniej jednego syna więc mogą zachodzić takie sytuacje:
  
  a) 1 syn + połowa z 6 córek = 4
  b) 2 synów + połowa z 4 córek = 4
  c) 3 synów + połowa z 2 córek = 4 - ale córek ma być więcej, odpada!
  
  Łatwo widać, że sytuacja (a) pasuje do pierwszego zdania:
  1 syn razy 2 + 6 córek = 8. Pasuje.
  Sprawdzamy sytuację (b)
  2 synów razy 2 + 4 córki = 8. Też pasuje.
  
  Zadanie ma 2 rozwiązania:
  a) 1 syn + 6 córek
  b) 2 synów + 4 córki
  =======================================
  
  Zad. 6.
  Oznaczmy przez "x" ilość znaczków Jacka, przez "y" ilość znaczków dziadka.
  
  Pierwsze zdanie mówi:
  Dziadek oddaje Jackowi 150 znaczków, zostaje mu: y - 150
  Jacek dostaje 150 znaczków, ma ich teraz: x + 150
  Mają po tyle samo więc:
  
  y - 150 = x + 150 <-------------------- podstawowe równanie
  
  Drugie zdanie mówi:
  Dziadkowi zostaje 1/4 kolekcji czyli y / 4.
  Jacek teraz ma "x" znaczków więc:
  
  y / 4 = x ; stąd
  y = 4x
  
  Wstawiamy "y" do podstawowego równania:
  4x - 150 = x + 150 ; porządkujemy
  3x = 300
  x = 100 <------------- ilość znaczków Jacka, dziadek ma 4 razy więcej.
  
  Odp: Jacek ma 100 znaczków, dziadek ma 400 znaczków.
  
  Sprawdzamy:
  Gdy dziadek odda Jackowi 150 znaczków zostanie mu 400 - 150 = 250.
  Jacek będzie miał 100 + 150 = 250. Tyle samo, zgadza się.
  Gdy dziadek odda Jackowi 3/4 kolekcji zostanie mu 1/4 z 400 czyli 100.
  Właśnie tyle ma teraz Jacek. Zgadza się.
  =======================================
  
  W razie pytań - pisz na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie