5) NIE.
Pierwszy powód:
Ponieważ pierwiastek(x) jest określony tylko dla x >= 0,
więc można by mówić jedynie o granicy pochodnej dla x --> 0 z prawej strony,
czyli o pochodnej "prawostronnej".
"Lewostronna" granica nie istnieje - więc nie istnieje pochodna.
Drugi powód: Pochodna y(x) wynosi:
y ' (x) = (1/2) / pierwiastek(x)
Dla x = 0 mamy zero w mianowniku i powyższe wyrażenie jest nieskończone.
Interpretacja geometryczna:
Spróbuj narysować wykres pierwiastka dla małych, bliskich zeru, x.
Wykres ten - czym bardziej zbliżamy się do zera - tym bardziej staje się pionowy,
a wykres, który jest "pionowy" nie ma pochodnej.
===============================
6)
Trzeba najpierw znaleźć punkty przecięcia z osią OX (czyli miejsca zerowe)
a potem wartość pochodnej danej funkcji w tych punktach.
To będzie współczynnik "a" w równaniu stycznej: y = ax + b
[ wyjaśnienia - patrz któreś wcześniejsze zadanie ]
==============
f(x) = arctg(x) ; pochodna: f ' (x) = 1 / (1 + x^2).
Równanie: 0 = arctg(x) ma tylko jedno rozwiązanie: x = 0.
Styczna ma przechodzić przez punkt (0 ; 0)
Wartość pochodnej: f ' (0) = 1 / (1 + 0^2) = 1 (współczynnik a = 1)
Wobec tego z równania stycznej y = ax + b mamy:
0 = 1 * 0 + b ; więc b = 0 ; równanie stycznej to: y = x
==============
h(x) = sin(x) ; pochodna: h ' (x) = cos(x)
Równanie: 0 = sin(x) ma rozwiązania postaci: x = k * pi gdzie k - liczba całkowita.
Jest nieskończenie wiele rozwiązań, jest więc nieskończenie wiele stycznych,
ale dzielą się one na dwie "rodziny"
a) Weźmy x = 0, gdy sinus rośnie. Wartość cos(0) = 1 więc "a" = 1,
i podstawiamy y = sin(0) = 0 do równania stycznej:
0 = 1 * 0 + b ; stąd b = 0.
Ta styczna ma równanie: y = x
Pozostałe styczne tego typu mają równania: y = x - 2k pi
b) Weźmy x = pi, gdy sinus maleje. Wartość cos(pi) = -1 więc "a" = -1,
i podstawiamy y = sin(0) = 0 do równania stycznej:
0 = -1pi + b ; stąd b = pi
Ta styczna ma równanie: y = -x + pi
Pozostałe styczne tego typu mają równania: y = -x + pi + 2k pi
==============
Funkcję u(x) = cos(x) rozwiązuje się identycznie, tylko inne są miejsca zerowe,
mamy identyczne rodziny stycznych, tylko współczynniki "b" są nieco inne
==============
Funkcja g(x) = sin(3x) ; pochodna: g ' (x) = 3 cos(3x).
To jest prawie identyczne z przypadkiem "sin(x)" ale:
Współczynnik "a" w pierwszej rodzinie, gdy sinus rośnie, wynosi 3,
więc styczna przechodząca przez (0 ; 0) to y = 3x
Współczynnik "a" w drugiej rodzinie, gdy sinus maleje, wynosi minus 3,
więc styczna przechodząca przez (0 ; pi/3) to y = - 3x + pi
i dalej identycznie jak w przykładzie z sinusem
(zmiana "b" o wielokrotność 2 pi)
===============================
Sorry, że tak skrótowo potraktowałem pozostałe przykłady,
ale to staje się trochę za długie...
lub
zarejestruj nowe konto.
2 0
antekL1 17.12.2013 (17:34)
5)
NIE.
Pierwszy powód:
Ponieważ pierwiastek(x) jest określony tylko dla x >= 0,
więc można by mówić jedynie o granicy pochodnej dla x --> 0 z prawej strony,
czyli o pochodnej "prawostronnej".
"Lewostronna" granica nie istnieje - więc nie istnieje pochodna.
Drugi powód: Pochodna y(x) wynosi:
y ' (x) = (1/2) / pierwiastek(x)
Dla x = 0 mamy zero w mianowniku i powyższe wyrażenie jest nieskończone.
Interpretacja geometryczna:
Spróbuj narysować wykres pierwiastka dla małych, bliskich zeru, x.
Wykres ten - czym bardziej zbliżamy się do zera - tym bardziej staje się pionowy,
a wykres, który jest "pionowy" nie ma pochodnej.
===============================
6)
Trzeba najpierw znaleźć punkty przecięcia z osią OX (czyli miejsca zerowe)
a potem wartość pochodnej danej funkcji w tych punktach.
To będzie współczynnik "a" w równaniu stycznej: y = ax + b
[ wyjaśnienia - patrz któreś wcześniejsze zadanie ]
==============
f(x) = arctg(x) ; pochodna: f ' (x) = 1 / (1 + x^2).
Równanie: 0 = arctg(x) ma tylko jedno rozwiązanie: x = 0.
Styczna ma przechodzić przez punkt (0 ; 0)
Wartość pochodnej: f ' (0) = 1 / (1 + 0^2) = 1 (współczynnik a = 1)
Wobec tego z równania stycznej y = ax + b mamy:
0 = 1 * 0 + b ; więc b = 0 ; równanie stycznej to: y = x
==============
h(x) = sin(x) ; pochodna: h ' (x) = cos(x)
Równanie: 0 = sin(x) ma rozwiązania postaci: x = k * pi gdzie k - liczba całkowita.
Jest nieskończenie wiele rozwiązań, jest więc nieskończenie wiele stycznych,
ale dzielą się one na dwie "rodziny"
a) Weźmy x = 0, gdy sinus rośnie. Wartość cos(0) = 1 więc "a" = 1,
i podstawiamy y = sin(0) = 0 do równania stycznej:
0 = 1 * 0 + b ; stąd b = 0.
Ta styczna ma równanie: y = x
Pozostałe styczne tego typu mają równania: y = x - 2k pi
b) Weźmy x = pi, gdy sinus maleje. Wartość cos(pi) = -1 więc "a" = -1,
i podstawiamy y = sin(0) = 0 do równania stycznej:
0 = -1pi + b ; stąd b = pi
Ta styczna ma równanie: y = -x + pi
Pozostałe styczne tego typu mają równania: y = -x + pi + 2k pi
==============
Funkcję u(x) = cos(x) rozwiązuje się identycznie, tylko inne są miejsca zerowe,
mamy identyczne rodziny stycznych, tylko współczynniki "b" są nieco inne
==============
Funkcja g(x) = sin(3x) ; pochodna: g ' (x) = 3 cos(3x).
To jest prawie identyczne z przypadkiem "sin(x)" ale:
Współczynnik "a" w pierwszej rodzinie, gdy sinus rośnie, wynosi 3,
więc styczna przechodząca przez (0 ; 0) to y = 3x
Współczynnik "a" w drugiej rodzinie, gdy sinus maleje, wynosi minus 3,
więc styczna przechodząca przez (0 ; pi/3) to y = - 3x + pi
i dalej identycznie jak w przykładzie z sinusem
(zmiana "b" o wielokrotność 2 pi)
===============================
Sorry, że tak skrótowo potraktowałem pozostałe przykłady,
ale to staje się trochę za długie...
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie