Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 27.11.2013 (11:12)

  Oczywiście że nie tylko "3".
  Rząd macierzy może być dowolny, ale co najwyżej równy
  MNIEJSZEMU z wymiarów macierzy - gdy mamy macierz o wymiarach N x M
  to jej rząd nie może być większy niż MNIEJSZA z liczb N, M.
  
  Przykład:
  Rząd macierzy:
  1 2
  3 4
  wynosi 2 (bo wyznacznik tej macierzy jest różny od zera, jej wiersze i kolumny są liniowo niezależne, a rząd macierzy to minimalna liczba liniowo niezależnych wierszy lub kolumn).
  
  Rząd macierzy:
  1 2 0 0
  3 4 0 0
  też wynosi 2 - liniowo niezależne są tylko dwie pierwsze kolumny,
  poza tym rząd tej macierzy (2 x 4) nie może być większy od 2.
  
  Rząd macierzy 5 x 5
  1 1 1 1 1
  1 1 1 1 1
  1 1 1 1 1
  1 1 1 1 1
  1 1 1 1 1
  wynosi 1. Jak to się sprawdza?
  Praktyczną metodą jest "produkcja zer".
  Możemy - nie zmieniając rzędu macierzy - dodawać lub odejmować dowolny wiersz do innego, tak samo dowolną kolumnę do innej.
  Można też dowolnie zamieniać miejscami dwa wiersze lub dwie kolumny
  (ale NIE kolumnę wymieniać na wiersz ! )
  
  Na przykład w macierzy powyżej można odjąć pierwszą kolumnę od każdej z pozostałych, co daje:
  1 0 0 0 0
  1 0 0 0 0
  1 0 0 0 0
  1 0 0 0 0
  1 0 0 0 0
  a następnie odjąć pierwszy wiersz od każdego z pozostałych, co daje:
  1 0 0 0 0
  0 0 0 0 0
  0 0 0 0 0
  0 0 0 0 0
  0 0 0 0 0
  Jedyne, co zostało, to samotna jedynka, więc rząd macierzy wynosi 1.
  
  Jak sprawdzić, kiedy rząd wynosi 4 ?
  Jeśli "produkując zera umiemy doprowadzić do macierzy typu:
  1 0 0 0
  2 3 0 0
  3 4 5 0
  6 7 8 9
  gdzie na górze i na prawo od przekątnej są zera, a na przekątnej nie ma zer
  to rząd tej macierzy wynosi 4.
  Zauważ, że odejmując dwukrotnie pierwszy wiersz od drugiego dostajemy:
  1 0 0 0
  0 3 0 0
  3 4 5 0
  6 7 8 9
  następnie odejmując 3 * pierwszy wiersz i 4/3 * drugi wiersz od trzeciego mamy:
  1 0 0 0
  0 3 0 0
  0 0 5 0
  6 7 8 9
  (tak też można - odejmować / dodawać wiersze / kolumny mnożone przez jakąś liczbę, nie zmienia to rzędu macierzy)
  i wreszcie odejmując od 4-go wiersza pozostałe trzy w różnych kombinacjach
  1 0 0 0
  0 3 0 0
  0 0 5 0
  0 0 0 9
  To jest najlepsza postać - wszędzie zera, tylko na przekątnej nie.
  Jakby teraz nie kombinować ze sobą wiersze lub kolumny zera na przekątnej nie dostaniemy, co dowodzi, że rząd wyjściowej macierzy wynosi 4.
  
  Pobaw się tak macierzą:
  1 2 3 4
  2 3 4 5
  3 4 5 6
  4 5 6 7
  - zobaczysz, że jej rząd jest mniejszy od 4, ale macierz:
  1 2 3 4
  3 3 3 4
  2 2 3 4
  1 1 1 1
  ma rząd 4 :) Specjalnie podaję małe liczby, aby było można doprowadzić do sytuacji, gdy wszędzie są zera, tylko na przekątnej nie.
  Pamiętaj, że można zamieniać miejscami wiersze ze sobą i kolumny ze sobą.
  Na przykład powyższa macierz po "produkcji zer" dała mi:
  0 1 0 0
  0 0 0 1
  0 0 1 0
  1 0 0 0
  (możesz dostać inny wynik, zależy od metody "produkcji")
  Istotne jest, że jest tylko jedna niezerowa wartość w każdym wierszu
  i to W RÓŻNYCH kolumnach.
  Jak powymieniamy miejscami wiersze to dostaniemy:
  1 0 0 0
  0 1 0 0
  0 0 1 0
  0 0 0 1
  zatem nie przejmuj się, jak na przekątnej w procesie "produkcji" zjawi się zero, trzeba poprzestawiać wiersze / kolumny aby go nie było.
  
  Jak przećwiczysz 1000 macierzy - nabierzesz wprawy :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie