Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 25.11.2013 (18:31)

  W załączniku jest wykres funkcji g(x) [ skala na osiach jest różna ]
  Dostaje się go rysując wykres y = x^2, przesuwając go o 1 w poziomie w lewo i o 4 w pionie w dół (w ten sposób część paraboli będzie pod osią X), a następnie odbijając tą część pod osią względem osi X.
  Ale wykres nie jest wymagany w zadaniu, choć się przyda.
  
  1)
  Funkcja f(x) może przyjmować wartość zero (dla x = -1 oraz x = 3) wobec tego zero jest w zbiorze wartości funkcji g(x). Poza tym g(x) może przyjmować dowolne wartości dodatnie - parabola jest nieograniczona z góry, więc zbiór wartości:
  ZW = < 0 ; +oo )
  
  2)
  g(1) = | (1 - 1)^2 - 4 | = 4
  g(0) = | (0 - 1)^2 - 4 | = 3
  g(3) = | (3 - 1)^2 - 4 | = 0
  g(-1) = | (-1 - 1)^2 - 4 | = 0
  g(1)*g(0)-g(3)*g(-1) = 4 * 3 - 0 * 0 = 12
  
  3)
  Krytycznymi punktami są x = -1; x = 3 (miejsca zerowe oraz wierzchołek x = 1.
  Gdy f(x) > 0 ; czyli dla przedziału (-oo; -1) U (3 ; +oo) funkcja g(x) = f(x)
  czyli maleje po lewej stronie wierzchołka (dla x < 1), rośnie po drugiej stronie.
  Uwzględniamy zakres obowiązywania równania g(x) = f(x)
  i dostajemy dwa zakresy:
  
  funkcja maleje dla x należącego do (-oo ; -1)
  funkcja rośnie dla x należącego do (3 ; +oo)
  
  W przedziale (-1; 3) mamy f(x) < 0 czyli g(x) = -f(x)
  Wobec tego funkcja rośnie po lewej stronie wierzchołka, maleje po prawej.
  Dostajemy kolejne 2 zakresy:
  
  funkcja rośnie dla x należącego do (-1 ; 1)
  funkcja maleje dla x należącego do (1; 3)
  
  Łączymy oba przypadki:
  funkcja jest malejąca w przedziale: (-oo ; -1) U (1 ; 3)
  funkcja jest rosnąca w przedziale: (-1 ; 1) U (3 ; +oo)
  W punktach x = -1; x = 1; x = 3 funkcja ma ekstrema (patrz wykres).
  
  4)
  Gdy na wykresie poprowadzimy poziomą prostą y = 3 to zauważymy, że powinniśmy dostać 4 rozwiązania. Udowodnijmy to.
  
  Gdy g(x) = f(x) czyli w przedziale (-oo; -1) U (3 ; +oo) podane równanie przechodzi w:
  
  (x - 1)^2 - 4 = 3 czyli (x - 1)^2 - 7 = 0
  Rozwiązaniami są:
  x1 = pierwiastek(7) + 1 = około 3,6
  x2 = -pierwiastek(7) + 1 = około -1,6
  Oba rozwiązania należą do przedziału (-oo; -1) U (3 ; +oo) więc są poprawne.
  
  Gdy g(x) = -f(x) czyli w przedziale (-1 ; 3) podane równanie przechodzi w:
  
  (x - 1)^2 - 4 = -3 czyli (x - 1)^2 - 1 = 0
  Rozwiązaniami są:
  x3 = 0
  x4 = 2
  Oba rozwiązania należą do przedziału (-1 ; 3) więc też są poprawne.
  
  Razem mamy cztery rozwiązania.

  Załączniki

  • wykres.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie