Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 1

  antekL1 21.11.2013 (15:37)

  Dane:
  m = 0,05 kg - masa ciała
  r = 0,1 m - promień pętki
  Szukana: minimalna wysokość H, siła nacisku F w najniższym punkcie
  Wprowadźmy jeszcze oznaczenia:
  V_min - prędkość ciała na szczycie "pętli śmierci"
  V_max - prędkość ciała na dole "pętli śmierci"
  g = 10 m/s^2 - przyspieszenie ziemskie [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  Zadanie rozwiązujemy w układzie obracającym się wraz z ciałem (środek układu jest w środku pętli). W tym układzie na ciało działa:
  -- siła ODśrodkowa bezwładności (zwrócona od środka pętli na zewnątrz)
  -- siła grawitacji, zwrócona zawsze pionowo w dół
  -- siła reakcji podłoża, opiszemy ją tylko w najniższym i najwyższym punkcie pętli.
  
  ---------------------- pierwsza część
  
  W najwyższym punkcie pętli ciało nie spadnie, jeżeli siła odśrodkowa (skierowana pionowo w górę) będzie niemniejsza od siły grawitacji (skierowaną pionowo w dół. "Nadmiar" siły odśrodkowej wyrówna siła reakcji podłoża, skierowana pionowo w dół.
  W granicznym przypadku nacisk ciała będzie zerowy, wartości sił: odśrodkowej i grawitacji będą równe, co zapisujemy wzorem:
  (po lewej siła odśrodkowa, po prawej siła grawitacji)
  
  \frac{mv_{min}^2}{r} = mg
  
  Brakuje nam prędkości "v" i jej związku z wysokością H.
  Użyjemy prawa zachowania energii:
  
  Na wysokości H (która musi być większa niż średnica pętli, 2r)
  ciało ma tylko energię potencjalną, wynoszącą Ep1 = mgH
  (energię potencjalną liczymy od podstawy pętli)
  
  Na szczycie pętli, czyli na wysokości 2r ciało ma:
  energię potencjalną Ep2 = mg * (2r)
  energię kinetyczną Ek = m v_min^2 / 2
  
  Z prawa zachowania energii wynika: Ep1 = Ep2 + Ek ; czyli
  
  mgH = 2mgr + \frac{1}{2}mv_{min}^2\qquad\qquad\mbox{zatem}\qquad\qquad mv^2_{min} = 2mgH - 4mgr
  
  Wstawiamy m * v_min^2 do wzoru na równość sił podanego na początku:
  
  \frac{2mgH - 4mgr}{r} = mg
  
  Skracamy "m" oraz "g", mnożymy przez "r" i dostajemy:
  
  H = \frac{5}{2}\,r = \frac{5}{2}\cdot 0{,}1 = 0{,}25\,\mbox{m}
  
  ----------------------------------------- druga część
  
  W najniższym punkcie pętli obie siły: odśrodkowa i grawitacji skierowane są w dół i tworzą szukaną siłę nacisku F, równoważoną przez siłę reakcji podłoża. Mamy więc wzór:
  
  F = \frac{mv_{max}^2}{r} + mg
  
  Aby wyznaczyć v_max^2 ponownie stosujemy zasadę zachowania energii.
  W najniższym punkcie toru CAŁA energia potencjalna przejdzie w kinetyczną, czyli
  
  mgH = \frac{1}{2}mv_{max}^2\qquad\qquad\mbox{zatem}\qquad\qquad mv^2_{maz} = 2mgH = 5mgr
  
  Po ostatnim znaku równości podstawiliśmy H = (5/2) r, stąd wzięło się 5mgr.
  
  Wstawiamy m v_max^2 do wzoru na siłę F
  
  F = \frac{5mgr}{r} + mg = 6mg = 6 \cdot 0{,}05 \cdot 10 = 3\,\mbox{N}
  
  Zauważ, że siła F w ogóle NIE zależy od promienia "pętli śmierci".
  To jest zaskakujące, ale jak się przyjrzysz całemu rozwiązaniu to zauważysz, że postawiliśmy bardzo specyficzne warunki (to "nieodpadanie" w najwyższym punkcie toru).
  Jeśli naprawdę Cię ten końcowy wynik dziwi - pisz na priv, wyjaśnienie "na palcach", bez wzorów nie jest oczywiste :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 21.11.2013 (16:09)

    Aha, dodam jeszcze, że prawo zachowania energii MECHANICZNEJ obowiązuje, bo ruch ma być bez tarcia, jak napisano w zadaniu.