Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.11.2013 (19:29)

  Zdób rysunek.
  Z punktu D poprowadź prostopadłe do boków AC i BC
  Oznacz przez E punkt przecięcia się prostopadłej do AC z tym bokiem.
  Oznacz przez F punkt przecięcia się prostopadłej do BC z tym bokiem.
  
  Zauważ, że kąty AED i BDF są proste (to cecha linii będącej odległością)
  Kąty EDA i FDB wynoszą po 30 stopni (jako kąty w trójkątach, których pozostałe katy to 60 i 90 stopni.
  
  
  Pierwsza metoda - dłuższa ale uniwersalna
  
  Wobec tego:
  |ED| = |AD| * cos 30
  |FD| = |BD| * cos 30
  
  Suma: |ED| + |FD| = ( |AD| + |BD| ) * cos 30
  
  Ale |AD| + |BD| = |AB| czyli "a" (długość boku trójkąta równobocznego). Więc:
  
  |ED| + |FD| = a * cos 30 = a * pierwiastek(3) / 2.
  
  Tyle samo wynosi wysokość trójkąta ABC. Koniec dowodu.
  
  Zauważ, że punkt D nie musi leżeć na środku odcinka AB.
  Twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego położenia punktu D na AB.
  ====================
  
  Inna metoda, pasująca tylko gdy D leży w połowie AB, ale prostsza.
  Zauważ, że trójkąty AED i ADC są podobne więc:
  
  |ED| / |AD| = |CD| / |AC|
  
  czyli, wprowadzając oznaczenie |AB| = a oraz |CD| = h mamy:
  
  |ED| / (a/2) = h / a ; stąd, po skróceniu "a" wychodzi |ED| = h / 2
  
  Analogicznie |FD| = h / 2 więc |ED| + |FD| = h. Koniec dowodu.
  ====================
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie