Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2013 (13:15)

  dy / dx = cos y
  To jest równanie o "rozdzielonych zmiennych", wystarczy napisać je tak:
  
  (1 / cos y) dy = dx
  
  Całkujemy obie strony, dostajemy (patrz obliczanie całki z 1/cos y na końcu)
  
  \ln\left|\mbox{tg}\left(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right| = x + C
  
  Jeśli chcesz y(x) to odwracamy powyższy wzór, czyli po kolei:
  
  \mbox{tg}\left(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{4}\right) = e^{x+C} = C_1e^x
  
  y =2\, \mbox{arctg}\,\left( C_1e^x\right) - \frac{\pi}{2}
  
  Myślę, że istnieją jeszcze inne postacie wyniku, mogłem zrobić błąd, w razie czego pisz na priv.
  =================================
  
  (x+y)dy/dx=y
  Mnożymy przez dx
  
  (x + y) dy = y dx
  
  To jest równanie "jednorodne" (jednakowe potęgi x, y przy dx, dy).
  Zakładamy, że x jest różne od zera (gdy jest równe mamy y = x = 0)
  
  Podstawiamy: y = t x ; wtedy różniczka zupełna: dy = t dx + x dt
  Wstawiamy y oraz dy do naszego równania:
  
  (x + t x) ( t dx + x dt) = t x dx ; wymnażamy nawiasy po lewej
  
  x t dx + x t^2 dx + x^2 dt + x^2 t dt = x t dt ; upraszczamy x t dt, skracamy x.
  
  t^2 dx + x(1 + t) dt = 0 ; dzielimy przez t^2 oraz przez x
  
  dx / x + dt (1 + t) / t^2 = 0 ; i mamy równanie o rozdzielonych zmiennych:
  
  -(1/x) dx = (1 + t) / t^2 * dt ; całkujemy
  
  -ln|x| = -1/t + ln|t| + C ; czyli ln|x| = 1/t - ln|t| - C = 1 / t + ln|1 / t| + C1
  
  bierzemy e^(obu stron)
  
  x = C_1\, \frac{1}{t}\, e^{1/t}
  
  wtedy: y =t x czyli
  
  y = C_1 e^{1/t}
  
  Mamy rozwiązanie w postaci parametrycznej, nie bardzo widzę, aby dało się to jakoś rozwikłać dalej.
  (jest taka funkcja niealgebraiczna, która jest rozwiązaniem równania z = w * e^w, ale za pomocą "zwykłych" funkcji jednak dalej chyba się nie da.
  =================================
  
  Obliczanie całki z 1 / cos y. Podstawiamy: t = tg (y / 2) ; wtedy (wzory są w tablicach)
  
  dy = 2 dt / (1 + t^2) oraz cos y = (1 - t^2) / (1 + t^2) ; całka przechodzi w całkę:
  
  \int \frac{1 + t^2}{1-t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt = \int\frac{2}{1-t^2}\,dt
  
  Mianownik rozpisujemy jako (1 - t)(1 + t) i rozbijamy ułamek na:
  
  2 / (1 - t^2) = 1 / (1 - t) + 1 / (1 + t), wtedy nasza całka ma postać:
  
  \int\frac{dt}{1 - t} + \int\frac{dt}{1 + t} = -\ln|1 - t| + \ln|1 + t| + C
  
  Wracamy do "y", ale jedynki zapisujemy jako tg(pi / 4) oraz różnicę logarytmów jako logarytm ilorazu:
  
  \int = \ln\left|\frac{\mbox{tg}\,\frac{\pi}{4} + \mbox{tg}\,\frac{y}{2}}{\mbox{tg}\,\frac{\pi}{4} - \mbox{tg}\,\frac{y}{2}}\right|= \ln\left|\frac{\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{y}{2}+ \sin\frac{y}{2}\cos\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{y}{2}-\sin\frac{y}{2}\sin\frac{\pi}{4}}\right|= \ln\left|\mbox{tg}\left(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|
  
  gdzie używamy wzorów na sumę i różnicę kątów oraz faktu, że sin(pi/4) = cos(pi/4).
  =================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie