Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 25.10.2013 (18:02)

  2.
  W zadaniu nie ma polecenia, aby określać dziedzinę tożsamości, więc przyjmijmy, że w mianownikach nie ma zer. Wtedy, zauważ, że po obu stronach powtarza się czynnik:
  
  1 + cos(x/2)
  
  Wobec tego gdy udowodnimy tożsamość:
  
  \frac{\sin x}{1+\cos x}\cdot \cos(x/2) = \sin(x/2)
  
  i potem podzielimy obie strony przez 1 + cos(x/2) [ które NIE jest zerem ]
  to dostaniemy tożsamość z zadania.
  
  A ta uproszczona tożsamość zapisana LaTeXem u góry jest prosta. Lewą stronę zamieniamy na funkcję kąta x/2
  
  L = \frac{2\sin(x/2)\cdot \cos(x/2)}{\cos^2(x/2) + \sin^2(x/2) + \cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)}\cdot \cos(x/2) =
  
  gdzie rozpisujemy "1" jako "jedynkę trygonometryczną" i stosujemy wzory na podwojone kąty. Skkracamy, co się da (a da się sporo) i dostajemy:
  
  = \frac{2\sin(x/2)\cdot\cos(x/2)\cdot\cos(x/2)}{2\cos^2(x/2)} = \sin(x/2)
  
  czyli prawą stronę "uproszczonej" tożsamości.
  Wystarczy podzielić przez 1 + cos(x/2).
  
  Jak się nauczyciel uprze, to trzymaj czynnik: 1 / [1 + cos(x/2)] po lewej stronie we wzorach powyżej bez zmian, w wyniku wyjdzie, po takim rozumowaniu, jak wyżej, taki zapis - tylko trzymaj ten ułamek bez żadnych zmian !
  
  L = \sin(x/2)\cdot \frac{1}{1 + \cos(x/2)} = P
  
  ====================================
  
  3.
  
  \cos(x+y) = \cos x\cdot \cos y - \sin x\cdot \sin y
  
  Mamy sin x oraz cos y, ale nie mamy: cos x oraz sin y.
  Wyznaczamy je z "jedynki trygonometrycznej":
  
  \cos x = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \pm\frac{4}{5}
  oraz
  \sin y = \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2} = \pm\frac{5}{13}
  
  Problem jest taki, że wyniki są "plus/minus". PO TO podane są zakresy kątów.
  
  Jeżeli x jest z przedziału (pi/2; pi) [ =druga ćwiartka ] to sin jest dodatni, cos ujemny.
  Czyli wybieramy: cos(x) = minus 4/5.
  
  Jeżeli y jest z przedziału (0; pi/2) [ = pierwsza ćwiartka ] to sin jest dodatni, cos też dodatni.
  Czyli wybieramy: sin(y) = 5/13
  
  Teraz wstawiamy te wartości do wzoru na cos(x+y)
  
  \cos(x+y) = \frac{-4}{5}\cdot\frac{12}{13} - \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13} = -\frac{63}{65}
  
  ====================================
  
  Mogłem się pomylić w ułamkach, bo zaraz muszę wyjść, ale metoda jest dobra.
  Sprawdź!

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie