Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 25.10.2013 (08:10)

  \1/3x-1| <7
  
  Czy chodzi o nierówność: \left | \frac{1}{3x}-1\right | < 7 czy o \left | \frac{1}{3x-1}\right | < 7
  Zakładam, że o tą pierwszą, bo nie ma nawiasów we wzorze. Jeśli jest inaczej, zgłoś proszę zadanie powtórnie używając właściwych nawiasów.
  
  Zakładamy, że x \neq 0
  
  Dla rozwiązania istotne jest, czy wyrażenie w |...| jest dodatnie, czy ujemne
  (gdy jest zerem nierówność jest spełniona, bo 0 < 7)
  Dlatego najpierw sprawdzamy kiedy zachodzi:
  
  1/3x - 1 > 0 ; sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  
  (1 - 3x) / (3x) > 0
  
  a) Albo licznik i mianownik są dodatnie, czyli 1 - 3x > 0 oraz 3x > 0 ; czyli
  1 > 3x oraz 3x > 0 ; czyli x < 1/3 oraz x > 0
  Daje to przedział: x należy do (0; 1/3)
  
  Dla x = 1/3 wyrażenie w |...| jest zerem więc punkt ten należy do zbioru rozwiązań.
  
  b) Albo licznik i mianownik są ujemne czyli 1 - 3x < 0 oraz 3x < 0 ; czyli
  1 < 3x oraz 3x < 0 ; czyli x > 1/3 oraz x < 0 ; sprzeczność.
  
  W pozostałej części swojej dziedziny czyli w przedziale: (-oo; 0) U (1/3; +oo)
  wyrażenie w |...| jest więc ujemne.
  ============================
  
  Właściwa nierówność:
  
  Przypadek 1. Jeżeli 1/3x - 1 > 0 to |1/3x - 1| = 1/3x - 1 ; mamy nierówność:
  
  1/3x - 1 < 7 czyli 1/3x - 8 < 0 ; sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  
  (1 - 24x) / (3x) < 0
  
  a) Albo licznik jest ujemny, mianownik dodatni czyli 1 - 24x < 0 oraz 3x > 0
  czyli 1 < 24x oraz 3x > 0 ; czyli x > 1/24 oraz x > 0
  Warunek x > 1/24 jest silniejszy niż x > 0
  Daje to przedział: x należy do (1/24; +oo)
  
  b) Albo licznik jest dodatni, mianownik ujemny czyli 1 - 24x > 0 oraz 3x < 0
  czyli 1 > 24x oraz 3x < 0 ; czyli x < 1/24 oraz x < 0
  Warunek x < 0 jest silniejszy niż x < 1/24
  Daje to przedział: x należy do (-oo; 0)
  
  Ta część rozwiązania daje sumę przedziałów:
  x należy do: (-oo; 0) U (1/24; +oo)
  
  Otrzymany wynik należy skonfrontować z założeniem, czyli pomnożyć przez przedział:
  x należy do (0; 1/3)
  
  Częścią wspólną (i rozwiązaniem przypadku 1) jest
  
  x \in (1/24; 1/3)
  
  ============================
  
  Przypadek 2. Jeżeli 1/3x - 1 < 0 to |1/3x - 1| = -(1/3x - 1) ; mamy nierówność:
  
  -(1/3x - 1) < 7 czyli -1/3x - 6 < 0 ; sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  
  (-1 - 18x) / (3x) < 0
  
  a) Albo licznik jest ujemny, mianownik dodatni czyli -1 - 18x < 0 oraz 3x > 0
  czyli -1 < 18x oraz 3x > 0 ; czyli x > -1/18 oraz x > 0
  Warunek x > 0 jest silniejszy niż x > -1/18
  Daje to przedział: x należy do (0; +oo)
  
  b) Albo licznik jest dodatni, mianownik ujemny czyli -1 - 18x > 0 oraz 3x < 0
  czyli -1 > 18x oraz 3x < 0 ; czyli x < -1/18 oraz x < 0
  Warunek x < -1/18 jest silniejszy niż x < 0
  Daje to przedział: x należy do (-oo; -1/18)
  
  Ta część rozwiązania daje sumę przedziałów:
  x należy do: (-oo; -1/18) U (0; +oo)
  
  Otrzymany wynik należy skonfrontować z założeniem, czyli pomnożyć przez przedział:
  (-oo; 0) U (1/3; +oo)
  
  Częścią wspólną (i rozwiązaniem przypadku 2) jest
  
  x \in (-\infty; -1/18) \cup (1/3; +\infty)
  
  ============================
  
  Teraz sumujemy wyniki przypadków 1) i 2) oraz uwzględniamy, że x = 1/3
  też jest rozwiązaniem. Wynik to:
  
  x \in (1/24; 1/3) \cup (-\infty; -1/18) \cup (1/3; +\infty) \cup \{1/3\}
  
  czyli (pamiętaj o włączeniu 1/3 !!!)
  
  x \in (-\infty; -1/18) \cup (1/24; +\infty)
  
  ============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie