Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 21.10.2013 (13:03)

  137g)
  Założenia:
  1) cos(alfa) jest różny od zera, co jednocześnie zapewnia, że tg(alfa) istnieje.
  \alpha \neq \pi/2 + k\pi, gdzie k - liczba całkowita
  2) Suma sin(alfa/2) + cos(alfa/2) jest niezerowa.
  Przekształcamy tę sumę ze wzoru na sumę sinusów pisząc:
  cos(alfa/2) = sin(pi/2 - alfa/2) i dalej:
  suma = 2\sin\left(\frac{\pi/2 - \alpha/2 + \alpha/2}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi/2 - \alpha/2 - \alpha/2}{2}\right)
  Pierwszy czynnik jest stały, a drugi daje warunek:
  \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\qquad\mbox{czyli}\qquad\alpha \neq -\frac{\pi}{2}-2k\pi
  Zauważ, że gdy w warunku(1) zmienimy znak "k" (wolno nam, bo to liczba całkowita) i odejmiemy pi to warunek(2) jest spełniony w co drugim punkcie spełnianym przez warunek (1), więc wystarczy w tym zadaniu warunek(1).
  
  Przekształcamy prawą stronę zamieniając kosinus i tangens na funkcje alfa/2
  P = \frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1-2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} =
  Jedynkę na górze przedstawiamy jako sumę kwadratów sinusa i kosinusa, wtedy cały licznik zapisujemy jako pełny kwadrat, a mianownik zapisujemy jak niżej i skracamy różnicę funkcji (wolno, bo warunek (1) zapewnia także niezerowość tej różnicy)
  =\frac{[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)]^2}{[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)][\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)]}=\frac{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
  =====================================
  
  137h)
  Założenia:
  (1) cos(2alfa) jest różny od zera czyli \alpha \neq \pi/4 + k\pi/2
  (2) ctg(alfa) jest różny od zera i określony czyli \alpha \neq k\pi/4
  (warunek (2) wystarczy, jest mocniejszy niż warunek (1)
  (3) cos(45 - alfa) jest różny od zera czyli alpha \neq -\pi/4 + k\pi
  
  Przekształcamy lewą stronę ze wzorów na kosinus simy i różnicy:
  L = \frac{\cos(45^{\circ})\cos\alpha - \sin(45^{\circ})\sin\alpha}{\cos(45^{\circ})\cos\alpha + \sin(45^{\circ})\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}
  gdyż sinus i kosinus 45 stopni są jednakowe i się skracają.
  
  Teraz zauważ, że gdy zamiast alfa/2 w poprzednim przykładzie wpisać alfa,
  (czyli także 2alfa zamiast alfa po prawej stronie)
  oraz zamienić 1/ ctg na tg to dostaniemy po prawej stronie dokładnie to, co w przykładzie (g), a po lewej to, co wyżej, czyli także to samo co w przerobionym (g).
  Wobec tego rozumujemy jak w "g", mnożymy licznik i mianownik przez różnicę cos - sin, w liczniku dostajemy kwadrat, który przerabiamy na 1 - sin(2alfa), w mianowniku jest cos(2alfa).
  =====================================
  
  137i)
  Założenia:
  (1) Oba tangensy istnieją czyli \alpha \neq 2\pi/3 + 2k\pi oraz \alpha \neq -2\pi/3 - 2k\pi
  (2) Mianownik prawej strony jest niezerowy, czyli cos(alfa) jest różny od -1/2, czyli
  \alpha \neq -\pi/3 + 2k\pi
  (3) kosinus alfa/2 jest niezerowy, będzie potrzebne dalej.
  
  Przekształcamy lewą stronę używając wzoru na tangens sumy i różnicy kątów.
  Poza tym tg(30 stopni) = pierwiastek(3) / 3.
  Aby nie mieć piętrowych ułamków oznaczmy na chwilę alfa/2 jako "x".
  L = [\frac{\mbox{tg}\,30^{\circ} + \mbox{tg}\,x}{1-\mbox{tg}\,30^{\circ}\cdot \mbox{tg}\,x}]\cdot [\frac{\mbox{tg}\,30^{\circ} - \mbox{tg}\,x}{1+\mbox{tg}\,30^{\circ}\cdot \mbox{tg}\,x}]=\frac{\frac{1}{3}- \mbox{tg}^2\,x}{1 - \frac{1}{3}\mbox{tg}^2\,x}=
  Mnożymy licznik i mianownik przez 3, rozpisujemy tg jako sin/cos, sprowadzamy do wspólnego mianownika (kwadraty kosinusa się skracają).
  Robimy taką sztuczkę jak niżej, rozbijając 3cos^2 lub 3sin^2 na kawałki:
  =\frac{\cos^2 x - 3\sin^2 x}{3\cos^2 x - \sin^2 x}=\frac{2(\cos^2 x - \sin^2 x)- (\cos^2 x + \sin^2 x)}{2(\cos^2 x - \sin^2 x)+ (\cos^2 x + \sin^2 x)}=
  i różnice kwadratów cos i sin zamieniamy na cos(2x), a sumę na jedynkę
  =\frac{2\cos(2x)-1}{2\cos(2x)+1} = \frac{2\cos\alpha-1}{2\cos\alpha+1}
  =====================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie