Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 20.10.2013 (10:36)

  O to chodzi? (polecam zapis "do potęgi" jako znaczek ^)
  2^1000 + 4^499 <---- szybciej się pisze.
  Albo LaTeX, pomoc do niego jest na dole strony, a efekt taki:
  
  2^{1000} + 4^{499}
  
  Dalej zakładam, że liczba "n" jest sensowna,
  przypadek: 2^0 = 1 zostawmy w spokoju, jest unikalny :)
  
  Aby to rozwiązać (są różne sposoby, nie twierdzę, że ten poniżej jest najlepszy) zamieniamy 4 na dwójkę, czyli:
  
  2^{1000} + 4^{499} = 2^{1000} + 2^{2\cdot 499} = 2^{1000} + 2^{998}
  
  Teraz zauważ, że w potęgach liczby 2:
  2, 4, 8, 16, ....... 32, 64, 128, 256,....... 512, 1024, 2048, 4096...
  powtarzają się ostatnie cyfry, wynoszą one 2,4,8,6... 2,4,8,6,....
  Czyli ostatnia cyfra 2^1 = 2 jest taka sama, jak ostatnia cyfra 2^5 = 32 itd.
  
  Wniosek: 2 podniesione do potęgi: 4n+1 ma na końcu "2".
  Zobacz:
  n=0 to 2^(4*0 + 1) = 2^1 = 2
  n=1 to 2^(4*1 + 1) = 2^5 = 32 ; ostatnia cyfra to 2
  n=2 to 2^(4*2 + 1) = 2^9 = 512 ; ostatnia cyfra to 2
  Podobnie:
  2 podniesione do potęgi 4n + 2 ma na końcu 4
  2 podniesione do potęgi 4n + 3 ma na końcu 8
  2 podniesione do potęgi 4n + 4 ma na końcu 6 (np. 16 = 2^(4*0 + 4)
  Wiem, 4n + 4, to 4(n+1), podobne do 4n, faktycznie, kółko się zamyka.
  Czyli: 2 podniesione do potęgi 4n ma na końcu 6
  
  No to teraz:
  1000 = 4 * 250, mamy 2 do potęgi 4n. Na końcu jest 6.
  998 = 4 * 249 + 2, mamy: 4n + 2, na końcu będzie 4
  
  Ostatnie cyfry, sumowane, dają 10, czyli ostatnią cyfrą szukaną w zadaniu
  jest zero.
  
  PS: to, że ostatnie cyfry w potęgach tworzą cykl to NIE jest tylko cecha liczby "2", możesz sprawdzić na kalkulatorze, że wszystkie cyfry 0..9 mają też "cykle" przy potęgowaniu.
  Np: "9" (9, 81, 729, 6561...) ma cykl: 9,1,9,1,9,1,9....
  Może to Cię zaciekawi i poczytasz w sieci o np. liczbach pierwszych, szpiegach i kartach bankomatowych :) To wcale nie jest nudna dziedzina, ja - fizyk - odkryłem dopiero niedawno tą fascynującą matematykę.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie