Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.10.2013 (17:50)

  137c)
  Założenia:
  1) mianownik po lewej stronie jest różny od zera
  2) mianownik po prawej stronie jest różny od zera
  3) tangens jest skończony
  
  Warunki (2) i (3) oznaczają to samo: \cos\alpha \neq 0 czyli \alpha \neq \pi/2 + k\pi dla k ze zbioru liczb całkowitych.
  
  Warunek (1) jest niemiły. Znalazłem w sieci tylko wzór na sumę sin(a) + sin(b)
  
  \sin a + \sin b = 2\sin[(a+b)/2] \cdot \cos[(a-b)/2]
  
  więc poradzimy sobie tak: cos(2alfa) = sin(pi/2 - 2 alfa) i zastosujemy powyższy wzór
  a = 2 alfa; b = pi/2 - 2 alfa
  
  \sin 2\alpha + \cos 2\alpha= 2\sin\frac{2\alpha+\pi/2 - 2\alpha}{2}\cdot\cos\frac{2\alpha-\pi/2 + 2\alpha}{2}=
  
  =2\sin\frac{\pi}{4}\cdot\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right)
  
  Ten warunek oznacza, że cos(2 alfa - pi/4) nie jest zerem czyli 2\alpha - \pi/4 \neq \pi/2 + k\pi czyli
  
  \alpha \neq (3/8)\pi + (k/2)\pi
  
  Gdy już mamy założenia (pamiętaj: OBA założenia, (1) i (2 lub 3) są ważne)
  to dalej jest już prosto. Przedstawiamy tangensy jako sinus / kosinus
  i sprowadzamy licznik lewej strony do wspólnego mianownika,
  jakim jest 1 / cos^2 alfa.
  Natomiast w mianowniku lewej strony stosujemy wzory na funkcje podwojonego kąta, w rezultacie lewa strona wygląda tak:
  (zauważ, że licznik i mianownik poniżej są takie same, tylko inna jest kolejność)
  
  L = \frac{1+2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}=
  
  = \frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\cos^2\alpha+ 2\sin\alpha\cos\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}= \frac{1}{\cos^2\alpha}
  
  =============================
  
  137d)
  
  Założenia:
  1) Mianownik po lewej stronie jest niezerowy
  2) Tangens jest skończony
  
  Warunek (2) daje: \alpha/2 \neq \pi/2 + k\pi czyli \alpha \neq \pi + 2k\pi
  Warunek (1) traktujemy tak: zapisujemy sin(2alfa) jako sinus podwojonego kąta i wyciągamy przed nawias 2sin alfa.
  2\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(1 + \cos\alpha)
  Ma być to różne od zera więc sin alfa nie jest zerem lub cos alfa nie jest -1.
  Warunek na sinus jest silniejszy, dostajemy: \alpha \neq k\pi
  
  Gdy już mamy założenia (pamiętaj: OBA założenia, (1) i (2) są ważne)
  to dalej jest też prosto. Zapisujemy sin 2 alfa jako funkcję podwojonego kąta,
  skracamy sinus (wolno nam, zrobiliśmy założenia)
  
  L = \frac{2\sin\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}= \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}
  
  i rozpisujemy kosinus jako funkcję alfa/2 oraz "1" jako jedynkę trygonometryczną:
  
  L = \frac{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=
  
  =\frac{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}= \mbox{tg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)
  =============================
  
  Sprawdź proszę obliczenia, mogłem się pomylić, w międzyczasie "52ewa" dostała chyba nieco inny wynik z założeń.
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie