Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 14.10.2013 (17:41)

  1)
  Przenosimy 150 na lewą stronę i wymnażamy nawias, co daje nierówność:
  
  x^2 + 5x - 150 \leqslant 0
  
  Odpowiadające tej nierówności równanie kwadratowe ma rozwiązania:
  x1 = -15 oraz x2 = 10
  wobec tego nierówność jest spełniona dla x z przedziału < -15; 10 >.
  
  W tym przedziale leżą następujące liczby pierwsze: 2; 3; 5; 7
  
  Odpowiedź do zadania: Są 4 pasujące liczby pierwsze.
  =========================
  
  2)
  Liczba x = 0 nie jest rozwiązaniem równania.
  Dalej zakładamy, że x > 0 (aby pod pierwiastkiem była liczba dodatnia.
  Przenosimy 2 na lewą stronę i podnosimy obie strony do kwadratu:
  
  2x-1)^2 = 3x
  
  Wymnażamy nawias, porządkujemy i dostajemy równanie kwadratowe:
  
  4x^2 - 7x + 1 = 0
  Rozwiązujemy standardowo: delta = (-7)*(-7) - 4*4*1 = 33
  
  x_1 = \frac{7-\sqrt{33}}{8}\qquad\qquad x_2 = \frac{7+\sqrt{33}}{8}
  
  Należy sprawdzić rozwiązania, gdyż podnoszenie do kwadratu może wprowadzić dodatkowe rozwiązania. Najprościej zrobić to za pomocą kalkulatora.
  Przybliżona wartość x1 = 0.15693; oraz x2 = 1.59307
  Dla x1:
  po lewej stronie wyjściowego równania mamy 1.31386, po prawej to samo.
  Dla x2:
  po lewej stronie wyjściowego równania mamy 4.18614, po prawej -0.186141
  
  ODRZUCAMY rozwiązanie x2 !!
  Wzięło się ono stąd, że przy podnoszeniu do kwadratu tak samo, jak nasze, zachowa się równanie:
  
  2x+1 = 2 + \sqrt{3x}
  
  (podnoszenie do kwadratu "gubi" znak minus przed pierwiastkiem).
  Otrzymane rozwiązanie x2 jest właśnie rozwiązaniem tego drugiego równania.
  Można to także uzasadnić geometrycznie, rysując wykresy obu stron równania, uwzględniając raz znak plus, drugi raz znak minus przy pierwiastku, wtedy ładnie widać, skąd jest drugie rozwiązanie.
  
  Rozwiązanie jest sumą liczby wymiernej 1/8 i ilorazu niewymiernej liczby "pierwiastek(33)" oraz wymiernej liczby 8.
  Istnieją dwa twierdzenia:
  a) iloraz liczby niewymiernej i wymiernej jest NIEwymierny
  b) suma liczby niewymiernej i wymiernej jest NIEwymierna
  
  Dlatego rozwiązanie jest liczbą niewymierną
  =========================
  
  3.
  W mianowniku nie może być zera.
  Przekształcamy mianownik, wyciągając raz 5x, drugi raz 2 przed nawias:
  
  = 5x(x^2 - 3) + 2(x^2 - 3) = (5x + 2)(x^2 - 3) = (5x+2)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})
  
  Mianownik zeruje się dla: x_1 = -2/5\qquad x_2 = \sqrt{3}\qquad x_3 = -\sqrt{3}
  
  Wobec tego dziedzina D jest równa:
  
  D = R\,\, \backslash \,\,\{-\sqrt{3};\,\,-2/5;\,\,\sqrt{3}\}
  
  =========================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie