Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 27.9.2013 (16:22)

  1.
  To jest równianie dwukwadratowe (zmienna x występuje tylko w 4 i 2 potędze).
  Metoda: Podstawiamy y = x^2 i dostajemy r-nie kwadratowe:
  
  6y^2 - y - 1 = 0
  
  Jego rozwiązanie (to umiesz) daje: y1 = -1/3; y2 = 1/2.
  Ujemne rozwiązanie ODRZUCAMY, bo y ma się równać x^2, więc ma być nieujemne. Dodatni "y" prowadzi do:
  
  x^2 = 1/2 ; czyli x1 = -pierwiastek(1/2); x2 = pierwiastek(1/2).
  ---------------------------------------
  
  2.
  Rozbijamy całą nierówność na iloczyn typu (x-a)(x-b)(x-c).....
  
  Pierwszy nawias daje:
  x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)
  
  Drugi nawias porównujemy do zera: x^3 - 5x^2 + 4 = 0
  Jest to równanie 3-go stopnia, próbujemy zgadnąć rozwiązania.
  Najprościej jest próbować wśród podzielników wyrazu wolnego, czyli "4".
  Podstawiamy za x kolejno: 1, -1, 2, -2, 4, -4.
  Już dla x = 1 równanie jest spełnione: 1^3 - 5*1^2 + 4 = 0.
  
  Więc wielomian x^3 - 5x^2 + 4 da się zapisać jako:
  x^3 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x^2 + Ax + B) - objaśniałem kiedyś, czemu "1" przy x^2.
  Więc (po wymnożeniu nawiasów po prawej stronie i uporządkowaniu)
  
  x^3 - 5x^2 + 4 = x^3 + (A - 1)x^2 + (-A+B)x - B
  
  co daje, gdy porównany współczynniki przy tych samych potęgach x:
  -5 = A - 1
  0 = -A + B ; bo nie ma "x" po lewej stronie, więc współczynnik przy "x" jest zerem).
  4 = -B ; czyli B = -4
  Ze środkowego równania z powyższych trzech: A = B czyli A = -4
  Pierwsze równanie tylko potwierdza: A - 1 = -4 - 1 = -5.
  
  Wobec tego drugi nawias da się zapisać jako:
  
  x^3 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x^2 - 4x - 4)
  
  Rozwiązałem (programem) równanie kwadratowe w drugim nawiasie po prawej)
  i uwierz, że daje ono: 2 plus/minus 2*pierwiastek(2).
  Cały prawy nawias to:
  (x - 1)(x - 2 + 2*pierwiastek(2))(x - 2 - 2*pierwiastek(2))
  
  Cała nierówność to:
  
  x(x-1)(x+1)\cdot (x-1)(x - 2 + 2\sqrt{2})(x - 2 - 2\sqrt{2}) < 0
  
  Trochę uporządkujmy nawiasy tak, aby najmniejsze pierwiastki równania:
  (x^3 - x )(x^3 - 5x^2 + 4) = 0
  były po lewej stronie. Te pierwiastki to:
  Z pierwszego z nawiasów w Twoim zadaniu:
  x1 = 0; x2 = 1; x3 = -1
  z drugiego nawiasu:
  x4 = -1; x5 = 2 - 2*pierwiastek(2); x6 = 2 + 2*pierwiastek(2)
  czyli 0; 1, -1; -1; około =-0,83; około 4,83
  
  Więc: (zwróć uwagę! Jeśli x2 = -1 to jest najmniejszy pierwiastek i piszemy w nawiasie "x + 1", bo przecież rozwiązaniem równania: x + 1 = 0 jest x = -1. NIE POMYL się w tych znakach!
  
  (x^3 - x)(x^3 - 5x^2 + 4) = (x +1)\,(x-2+2\sqrt{2})\,x\,(x-1)^2\,(x-2-2\sqrt{2}) < 0
  
  Mamy całą nierówność w postaci iloczynowej.
  Ale UWAGA!! w tym zadaniu występuje (x - 1)^2, to znaczy, że x = 1 jest PODWÓJNYM pierwiastkiem. Ponieważ (x - 1)^2 jest nieujemne (jako kwadrat) to z nierówności która jest "ostra" (znak < ) możemy ten nieujemny składnik wyrzucić i dostajemy:
  
  (x +1)\,(x-2+2\sqrt{2})\,x\,(x-2-2\sqrt{2}) < 0
  
  (gdyby zamiast < było <= to rozwiązanie x = 1 trzeba uwzględnić).
  
  Mamy 4 kawałki: x + 1, x-2+2*pierw{2}, x, x-2-2*pierw(2).
  Stosujemy metodę "firankowę"
  Gdy x < -1 to WSZYSTKIE 4 nawiasy są ujemne (dlatego porządkowaliśmy)
  i całość jest dodatnia. Więc:
  dla x od -oo do -1 całość jest dodatnia, odpada.
  dla x od -1 do 2-2*pierw(2) lewy nawias jest ujemny, reszta dodatnia, nierówność ok.
  dla x od 2-2*pierw(2) do 0 znów mamy +, odpada
  dla x od 0 do 2 + 2*pierw(2) trzy ujemne, 1 dodatni, pasuje
  dla x > 2 + 2*pierw(2) wszystko dodatnie, odpada.
  
  (nierówność jest nieostra, więc granice przedziałów odrzucamy).
  Jeszcze TRZEBA UWZGLĘDNIĆ, że dla x = 1 całość jest zerem,
  więc odejmujemy punkt x = 1, to specyficzne dla tego właśnie zadania.
  
  Ostatecznie rozwiązanie to [ zauważ !!! Odejmuję {1} !!! ]
  
  x \in (-1; \,2-2\sqrt{3}) \cup (0; \,2+2\sqrt{3}) \,\mbox{minus 1-elementowy zbior}\,\{1\}
  
  czyli
  
  x \in (-1; \,2-2\sqrt{3}) \cup (0; \,2+2\sqrt{3}) \,\backslash\,\{1\}
  
  Pozostałe przykłady proszę zgłoś oddzielnie bo ten tekst już jest za długi.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie