Treść zadania

Autor: kamil2000 Dodano: 14.9.2013 (10:14)

Punkt P leży na sferze opisanej na sześcianie. Wykaż, że
suma kwadratów odległości punktu P od wierzchołków sześcianu
nie zależy od wyboru punktu P.

Zgłoś nadużycie

Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.

Rozwiązania

0 1

antekL1 17.9.2013 (11:40)

Wybacz, nie chce mi się robić rysunku, ale Ty zrób.
Gdy sześcian wpiszemy w sferę to istnieją 4 takie pary wierzchołków
6-scianu najbardziej jak to możliwe oddalone od siebie,
czyli leżące na NAJDŁUŻSZEJ przekątnej sześcianu.
Teraz istotne: Przekątna, łącząca te oddalone punkty jest ***średnicą*** sfery.
Wynika to z symetrii, sześcian jest "specjalny" bo obrót 3 razy wokół
osi XYZ o 90 stopni "nakłada" sześcian na siebie.
(pomyśl o innych bryłach - np. czworościan nie pasuje :)

Mamy więc 2 wierzchołki sześcianu oddalone o średnicę sfery
(bierzemy pierwszą z brzegu parę z 4 możliwych)
i punkt P na powierzchni sfery.
Te 3 punkty, niewspółliniowe, wyznaczają pewną płaszczyznę,
a na tej płaszczyźnie trójkąt, wyznaczony przez końce średnicy i punkt P.
ALE: zauważ! Ta płaszczyzna przecina sferą tworząc "koło wielkie"
(bo zawiera średnicę sfery). A w takim kole trójkąt oparty ***na średnicy***
JEST PROSTOKĄTNY. Czyli spełnia twierdzenie Pitagorasa.

Wykazałem twierdzenie dla pary wierzchołków, identycznie jest dla pozostałych 3 par.
Dodatkowo: suma kwadratów odległości = 4 * d^2, gdzie d - średnica sfery.
Jeszcze raz: Jeśli weźmiemy średnicę sfery to KAŻDY punkt na powierzchni tej sfery
spełnia twierdzenie "Suma kwadratów... itd". Dowolna średnica i dowolny punkt.

Możesz tu mieć wątpliwości: a te dwa wierzchołki i punkt P tworzą inną płaszczyznę niż inne 2 wierzchołki... Co z tego? Suma kwadratów odległości punktów leżących na prostej, która zawiera średnicę sfery .. itd, jak w zadaniu, NIE zależy od położenia P.

Jeśli napisałem źle, niejasno- proszę o info na priv.
NIE wiem, jak rozwiązuje się oficjalnie tego typu zadania,
nie jestem ani matematykiem, ani nauczycielem.
Pozdro - Antek

Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

Podobne zadania

Napisz wzór funkcji, której wykres jest prostą przechodzącą przez punkt Przedmiot: Matematyka / Gimnazjum	1 rozwiązanie	autor: rose95 13.4.2010 (14:27)
Temat: Twierdzenie Talesa W trójkącie ABC na boku AC obrano punkt K a na Przedmiot: Matematyka / Gimnazjum	1 rozwiązanie	autor: mamba11 11.5.2010 (18:47)
y=0,5x=2,narysyj jej wykres,oblicz miejsce zerowe,czy punkt(-18,-7)nalezy do Przedmiot: Matematyka / Gimnazjum	1 rozwiązanie	autor: gigi 28.8.2010 (17:35)
1. Do wykresu funkcji f(x) = -3/4x - 4 należy punkt o współrzędnych: A. Przedmiot: Matematyka / Gimnazjum	1 rozwiązanie	autor: Paulinakot56 27.9.2010 (17:09)
Jeżeli prosta = ax -2 przechodzi przez punkt A = (1.2) to wartość Przedmiot: Matematyka / Gimnazjum	1 rozwiązanie	autor: damielec95 3.11.2010 (19:18)

Podobne materiały

Przydatność 75% Alzheimer - genetyczny punkt widzenia.

Skrycie atakująca choroba Alzheimera powoduje nieustanne pogarszanie się pamięci i utratę kontroli nad podstawowymi funkcjami organizmu. W większości cierpią na nią osoby po siedemdziesiątce, ci zaś, którzy dożywają jej końcowych stadiów, w miarę powolnego zaniku czynności mózgu tracą zdolność mówienia, chodzenia, a nawet unoszenia głowy. Choroba daje o sobie znać...

Przydatność 75% Gospodarka materiałowa w sferze budżetowej

Gospodarka materiałowa w sferze budżetowej (cz. 1) Zgodnie z teorią ekonomii materiały są zaliczane do przedmiotów pracy. Są one koniecznym składnikiem funkcjonowania każdej jednostki. W związku z tym szczególną uwagę w gospodarce rynkowej należy zwrócić na prawidłowe rozliczania zużycia materiałów zarówno pobranych z magazynu, jak i tych, które pochodzą bezpośrednio z...

Przydatność 75% Relacja administracji w sferze wewnętrznej

I. Dzisiejsze problemy administracji 1. Polska w dobie szybkiej transformacji prawno-instytucjonalnej narażona jest na liczne nieprawidłowości i doświadcza wielu korupcjo gennych zjawisk. Wpływają one na nienajlepszy poziom merytoryczny ustawodawstwa, powielanie złego prawa i duży brak kompetencji działania różnych instytucji państwowych, w tym urzędów administracyjnych,...

Przydatność 75% Zmiany w sferze fizyczno-motorycznej człowieka

ZMIANY W SFERZE FIZYCZNO –MOTORYCZNEJ CZŁOWIEKA Człowiek przechodząc przez różne okresy swojego życia zmienia się, dostosowując się do ich wymagań. Dynamika i zakres tych zmian są różne, na każdym etapie życia- większość procesów, które obserwujemy cechuje okresowość. Każdy następny etap życia człowieka jest konsekwencją poprzedniego( jest efektem tego...

Przydatność 60% "Punkt widzenia zależy od punktu siedzenia".

W pełni zgadzam się z założonym twierdzeniem, iż „punkt widzenia zależy od punktu siedzenia”. Uważam, że stanowisko, czy pozycja w jakiej się znajdujemy nie jest bez znaczenia dla naszych poglądów, lub decyzji. Ludzie zachowujący się dwulicowo uznawani są przez większość społeczeństwa za istny margines społeczny, który potocznie trzeba „tępić”. Z pewnością nie...

0 odpowiada - 0 ogląda - 1 rozwiązań