Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.4.2013 (10:54)

  Rysunki są w załączniku.
  Kąt, o który chodzi w zadaniu to kąt OBS leżący na płaszczyźnie BDS, prostopadłej do podstawy ostrosłupa. Odcinek OS jest wysokością ostrosłupa więc kąt BOS w trójkącie BOS jest prosty i szukany kosinus to stosunek:
  
  cos(OBS) = |OB| / |BS|
  
  OB jest połową krótszej przekątnej podstawy, musimy obliczyć BS, co zrobimy z tw. Pitagorasa, ale musimy znać OB i wysokość OS.
  
  Do obliczenia OS wykorzystamy prostokątny trójkąt AOS, gdzie AO to połowa dłuższej przekątnej podstawy. Jak widać trzeba znać obie połówki przekątnych podstawy.
  
  Zobacz rysunek po prawej stronie, jest to podstawa ostrosłupa.
  Kąt ABC = 120 stopni i przekątne przecinają się pod kątem prostym.
  Kąt ABO jest połową kąta ABC czyli wynosi 60 stopni. Wobec tego:
  
  |OB| = 4\cos 60^\circ = 4\cdot\frac{1}{2} = 2
  
  |OA| = 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}
  
  Z tw. Pitagorasa:
  
  |OS| = \sqrt{|AS|^2-|OA|^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{22}
  
  Tak samo z tw. Pitagorasa:
  
  |BS| = \sqrt{|OS|^2+|OB|^2}=\sqrt{(2\sqrt{22})^2+2^2}= 2\sqrt{23}
  
  Wreszcie szukany kosinus
  
  \cos(OBS)=\frac{|OB|}{|BS|}=\frac{2}{2\sqrt{23}}=\frac{1}{\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{23}}{23}\,\,\approx\,0{,}2085
  
  Koniec.

  Załączniki

  • ostroslup4c.pdf (25 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie