Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 2.4.2013 (04:05)

  Zadanie 15.
  Dane są takie, jak w zadaniu, oznaczmy jedynie dodatkowo przez
  t = 20 stopni C - temperatura odpowiadająca T = 293 K.
  Do tej temperatury będziemy odnosić opór, zmieniający się w/g wzoru:
  
  R = R_t(1 + \alpha\Delta t)
  
  gdzie Delta_t jest różnicą temperatur właśnie odniesioną do temperatury t,
  R_t jest oporem r temperaturze t (nieznanym, trzeba się go pozbyć),
  R jest oporem w zadanej temperaturze, albo t0, albo t1.
  
  Przy ustalonym napięciu moc emitowana przez grzejnik wyraża się wzorem:
  Dla temperatury t0
  
  P_0 = \frac{U_0^2}{R_0} = \frac{U_0^2}{R_t[1 + \alpha(t_0 - t)]}
  
  Dla temperatury t1
  
  P_1 = \frac{U_0^2}{R_1} = \frac{U_0^2}{R_t[1 + \alpha(t_1 - t)]}
  
  Dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze pozbywając się R_t
  (a przy okazji U0, które okazuje się nieprzydatne)
  
  \frac{P_1}{P_0}=\frac{1 + \alpha(t_0 - t)}{1 + \alpha(t_1 - t)}
  
  Mnożymy obie strony przez P0 i podstawiamy dane.
  Wynik wyjdzie w watach gdyż ułamek po prawej stronie jest bezwymiarowy.
  
  P_1 = 500\cdot\frac{1 + 4\cdot 10^{-4}\cdot(800-20)}{1 + 4\cdot 10^{-4}\cdot(200-20)}\,\approx\,612\,\mbox{W}
  
  ==============================
  
  Zadanie 16.
  Dane:
  Delta_R / R = 1% = 0,01 - zmiana rezystancji przy zmianie temperatury o:
  Delta_t = 10 stopni C
  Reszta oznaczeń jak w zadaniu.
  
  Zakładamy, że wartości alfa podane są dla temperatury "właściwej" do pracy miernika, to znaczy we wzorze na zmianę oporności z temperaturą wystarczy napisać "Delta_t.
  Podana wartość R0 i szukana wartość Rx to wielkości w tej "właściwej" temperaturze . Zmianę oporu można zapisać następująco:
  
  \Delta R = [R_0(1 + \alpha_1\Delta t) - R_0] + [R_x(1 + \alpha_2\Delta t) - R_x]= (R_0\alpha_1 + R_x\alpha_2)\Delta t
  
  Podany w zadaniu 1% to stosunek Delta_R do całkowitego oporu R0 + Rx.
  Dzielimy obie strony równania przez sumę R0 + Rx i podstawiamy już dane liczbowe
  
  \frac{\Delta R}{R_0 + R_x} = 0{,}01 = \frac{(3{,}3\cdot 4\cdot 10^{-3} + R_x\cdot 1{,}5\cdot 10^{-5})\cdot 10}{3{,}3 + R_x}
  
  Mamy równanie z jedną niewiadomą. Mnożymy nawias, mnożymy przez mianownik, przenosimy znane części na jedną stronę i obliczamy Rx
  
  R_x = \frac{3{,}3\cdot 4\cdot 10^{-2} - 0{,}01\cdot 3{,}3}{0{,}01-1{,}5\cdot 10^{-4}}\,\approx\,10\,\Omega
  
  ==============================
  
  Zadanie 17.
  Dane:
  L = 500 m - długość przewodu
  r = 1 mm = 0,001 m - promień przewodu (połowa średnicy
  ro = 1,8 * 10^(-8) om * m - rezystywność
  J = 2 A - natężenie prądu.
  
  Szukamy napięcia U.
  Jest to iloczyn natężenia i oporu przewodu który liczymy ze znanego prawa.
  Przez chwilę S oznacza pole przekroju przewodu
  
  U = RJ = \frac{\rho L}{S}J = \frac{\rho L}{\pi r^2}J = \frac{1{,}8\cdot 10^{-8}\cdot 500}{\pi 0{,}001^2}\cdot 2 = \frac{18}{\pi}\,\mbox{V}
  
  ==============================
  
  Zadanie 18.
  Dane:
  ro = 100 om * m - rezystywność ośrodka
  r0 = 0,05 m - promień kulki (połowa średnicy)
  
  Szukamy rezystancji układu kulka - ośrodek.
  Powiedzmy, że w jakiś sposób dostarczamy do kulki prąd.
  Ten prąd wypływa z kulki do ośrodka . Ponieważ ośrodek jest nieskończony w każdym punkcie kulki powstaje "strumień" prądu skierowany prostopadle do powierzchni. Wyobraźmy sobie, że powierzchnia kulki jest otoczona cienką warstwą ośrodka o grubość "dr". Ta warstwa stawia prądowi pewien opór, który nazwijmy dR i obliczmy ze standardowego wzoru. Rolę przekroju "pseudo-przewodu" pełni powierzchnia kulki, a rolę długości przewodu odległość "dr". Zatem:
  
  dR = \frac{\rho dr}{S} = \frac{\rho dr}{4\pi r^2}
  
  Ta powierzchnia jest otoczona kolejną o nieco większej grubości, którą możemy traktować jako opornik dołączony szeregowo do poprzedniej powierzchni; potem następuje kolejna warstwa itd, aż do nieskończoności. Składowe dR są nieskończenie małe, trzeba je wysumować, a w tym wypadku należy obliczyć całkę (stałe wielkości, ro i 4pi, wyciągamy przed całkę).
  
  R = \frac{\rho}{4\pi}\int\limits_{r_0}^\infty \frac{dr}{r^2} = \frac{\rho}{4\pi}\left|\frac{-1}{r}\right|\limits_{r_0}^\infty = \frac{\rho}{4\pi r_0}=\frac{100}{4\pi\cdot 0{,}05}\,\approx\,159\,\Omega
  
  Odpowiedź do zadania podana w tekście to 150 omów, ale sądzę, że to pomyłka. Jeszcze wymiar wyniku:
  
  [ R ] = om * m / m = om
  ==============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie