Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 1.4.2013 (22:56)

  Zadanie 5.
  Dane:
  R = 6456 +/- 7 km = 6456000 +/- 7000 m - promień planety
  m = 3,47 +/ 0,04 dag = 0,0347 +/- 0,0004 kg - masa ciała
  F = 568 +/- 6 mN = 0,568 +/- 0,006 N - siła z jaką planeta przyciąga ciało
  G = (6,6738 +/- 0,0008) * 10^(-11) N * m^2 / kg^2 - stała grawitacyjna.
  
  Szukamy masy planety M. Ze wzoru Newtona: F = GmM / R^2 mamy
  
  M = F R^2 / (G m)
  
  Sprawdzamy wymiar:
  [ M ] = N * m^2 / [ N * m^2 / kg^2 * kg] = kg^2 / kg = kg
  
  Liczymy:
  M = 0,568 * 6456000^2 / [6,6738 * 10^(-11) * 0,0347 ] = 1,02229 * 10^25
  
  Zaraz to zaokrąglimy, ale trzeba policzyć błąd. Ponieważ liczymy błąd przeciętny, nie błąd maksymalny, stosujemy wzór z użyciem kwadratów w którym uznajemy podane błędy poszczególnych wartości jako przypadkowe. Obliczamy taką sumę:
  
  (\Delta M)^2 = \left(\frac{\partial M}{\partial F}\Delta F\right)^2 +\left(\frac{\partial M}{\partial R}\Delta R\right)^2 +\left(\frac{\partial M}{\partial G}\Delta G\right)^2 +\left(\frac{\partial M}{\partial m}\Delta m\right)^2
  
  Mam nadzieję, że to się zmieściło w jednej linii. Z tego, co wyjdzie, trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek. Teraz można zrobić taką sztuczkę: Policzmy zamiast delta_M iloraz: delta_M / M czyli błąd względny. Zacznę od pochodnej cząstkowej po F (czyli traktujemy F jako zmienną, pozostałe wielkości jako stałe:
  
  \frac{\frac{\partial M}{\partial F}\Delta F}{M}= \frac{\frac{R^2}{Gm}\Delta F}{\frac{FR^2}{Gm}}= \frac{\Delta F}{F}
  
  KAŻDY element iloczynu składający się na delta_M zachowa się analogicznie, jedynie przy R^2 wskoczy "2", bo pochodna z R^2 to 2R. Dostaniemy takie wyrażenie (pamiętaj, ta sztuczka nadaje się tylko do ilorazów i iloczynów)
  
  \left(\frac{\Delta M}{M}\right)^2 = \left(\frac{\Delta F}{F}\right)^2 + \left(2\frac{\Delta R}{R}\right)^2 + \left(\frac{\Delta G}{G}\right)^2 + \left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2
  
  Teraz użyjemy jedynie błędów względnych poszczególnych wielkości. Wynik jest bezwymiarowy, nie musimy przejmować się jednostkami. Kolejno:
  
  (delta_F / F)^2 = (6 / 568)^2 = 0,000111585
  (2*delta_R / R)^2 = (2*7 / 6456)^2 = 4,7025 * 10^(-6)
  (delta_G / G)^2 = (0,0008 / 6,6738)^2 = 1,43692 * 10^(-8)
  (delta_m / m)^2 = (0,04 / 3,47)^2 = 0,00013288
  
  Największe błędy wnosi pomiar siły F i masy m. Sumujemy to wszystko:
  
  (delta_M / M)^2 = 0,000244494 ; Wyciągamy pierwiastek:
  delta_M / M = 0.0156363 ; zaokrąglamy do 2 cyfr znaczących:
  
  \frac{\Delta M}{M} = 0{,}016
  
  To jest obliczony błąd względny. Mnożymy go przez M i mamy błąd bezwzględny, czyli ten o który chodzi w zadaniu:
  delta_M = 0,016 * 1,02229 * 10^25 = około 0,016 * 10^25
  
  Możemy podać pełny wynik zaokrąglony do 2 cyfr znaczących:
  
  M = (1{,}022 \,\pm\,0,016)\cdot 10^{25}\,\mbox{kg}
  
  =================================
  
  Zadanie 6.
  Najmniej cyfr znaczących jest w mianowniku (3 cyfry), wymnażamy cały ułamek:
  
  Wynik: 6,1134 * 10^(-19) ; wiadomo jak liczyć z kalkulatorem...
  
  i zaokrąglamy, aby zostały 3 cyfry: 6,11 * 10^(-19). Koniec.
  =================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie