Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 23.3.2013 (22:05)

  Zadanie 6.
  Posłużymy się bardziej tutaj przydatnym wzorem na promień zbieżności r
  
  r = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}
  
  który jest prawdziwy o ile granica w mianowniku istnieje.
  W przypadku tego zadania współczynniki a_n oraz a_(n+1) są równe:
  
  a_n = \frac{6^n}{n^2}\qquad\qquad\mbox{oraz}\qquad\qquad a_{n+1} = \frac{6^{n+1}}{(n+1)^2}
  czyli
  \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{6^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{6^n}{n^2}}= 6\,\frac{n^2}{(n+1)^2}
  
  Granica w mianowniku istnieje i jest równa 6, wobec tego promień zbieżności
  
  r = \frac{1}{6}
  
  Szereg jest zbieżny dla x z przedziału (-1/6, 1.6).
  Badamy zbieżność na krańcach przedziału.
  
  Dla x = +1/6 szereg przechodzi w:
  
  \sum\limits_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
  
  (istnieje dowód, że powyższa suma jest skończona, chyba można się posłużyć tym faktem bez pisania dowodu?)
  
  Dla x = -1/6 szereg przechodzi w
  
  \sum\limits_{n=1}^\infty\,\frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}
  
  Zbieżność tego ostatniego szeregu wynika z twierdzenia o zbieżności szeregu naprzemiennego, który jest zbieżny o ile szereg o wyrazach |an| jest zbieżny, a jest, bo |an| to szereg dla przypadku x = 1/6.
  
  Wartości granic obu szeregów nie trzeba było podawać, jedynie zbadać zbieżność, doda,lem wartości granic jako ciekawostkę.
  ===============================
  
  Zadanie 7.
  Poza tym f(x) posiada skończone pochodne dowolnego rzędu w otoczeniu x = 0.
  Możemy więc rozwinąć w szereg jedynie funkcję h(x) = e^(2x) - 1,
  a następnie wynik podzielić przez x.
  
  Oznaczmy pochodną rzędu n funkcji h(x) przez h^{(n)}(x)
  
  Pochodna k-tego rzędu h(x) "wyrzuca" czynnik 2 przed e^(2x) czyli,
  biorąc pod uwagę że h(0) = 0,
  
  e^{2x}-1 = h(0) + \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{h^{(k)}(0)}{k!}x^k= x\cdot\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{k!}x^{k-1}
  
  Po podzieleniu tego przez x otrzymujemy szukane rozwinięcie:
  
  \frac{e^{2x}-1}{x} = \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{k!}x^{k-1}
  
  Początkowe wyrazy rozwinięcia to:
  
  \frac{e^{2x}-1}{x} = 2 + 2x + \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{4}{15}x^4 + O(x^5)
  
  Promień zbieżności powyższego szeregu to:
  
  \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{2^k}{k!}}{\frac{2^{k+1}}{(k+1)!}} = \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{k+1}{2} = \infty
  =======================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie