Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.3.2013 (22:29)

  Rysunek w załączniku.
  
  Do pola powierzchni całkowitej potrzebne jest pole podstawy i pole ścianki bocznej.
  
  Pole podstawy jest łatwe:
  Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych (nie zaznaczonych na rysunku), złączonych wierzchołkami w punkcie O (w środku podstawy). Każdy z tych trójkątów ma boki równe 4, więc pole podstawy wynosi:
  
  P_p = 6 \cdot 4^2\frac{\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}
  
  Pole ścianki bocznej jest trudne.
  Zwróć uwagę na trójkąt ODF na rysunku. Punkt D jest środkiem boku BC.
  Odcinek OF o długości h jest wysokością ostrosłupa. Kąt DOF jest kątem prostym.
  Odcinek DF jest wysokością ścianki bocznej i długości tego odcinka potrzebujemy.
  
  Obliczymy go z tw. Pitagorasa jeżeli będziemy znali długości h oraz x.
  
  Zacznijmy od 'h'. W trójkącie COF kąt COF jest prosty, odcinek CO = 4 (jako połowa długiej przekątnej sześciokąta |CO| jest równe długości boku). |CF| = 10, dane w zadaniu. Więc:
  
  h = \sqrt{10^2-4^2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}
  
  Odcinek 'x' jest połową odcinka DE łączącego środki przeciwległych boków sześciokąta. Można odcinek DE przesunąć na pozycję AC.
  Zauważ, że kąt GAC = 30 stopni (bo kąt CGA w sześciokącie jest równy 120 stopni, a trójkąt GCA jest równoramienny). Wobec tego połowa odcinka AC, równa 'x' jest równa:
  
  x = 4 \cos(30) = 4\cdot\sqrt{3}{2} = 2\sqrt{3}
  
  Znaleźliśmy x, h, liczymy wysokość |DF|
  
  |DF| = \sqrt{x^2+h^2} = \sqrt{\left(2\sqrt{21}\,\right)^2 + \left(2\sqrt{3}\,\right)^2}= \sqrt{96} = 4\sqrt{6}
  
  Pole jednej ścianki bocznej = (1/2) * 4 * |DF| = 2 * |DF|
  Pole sześciu ścianek bocznych:
  
  P_b = 6 \cdot 2 \cdot |DF| = 12 \cdot |DF| = 48\sqrt{6}
  
  Pole powierzchni całkowitej:
  
  P_c = P_p + P_b = 24\sqrt{3} + 48\sqrt{6} = 24\,(\sqrt{3}+2\sqrt{6}\,)
  
  Uff!!!
  Mam nadzieję, że się nie pomyliłem...

  Załączniki

  • ostroslup6.pdf (19 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie