Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 19.3.2013 (04:35)

  Jest 10 rozwiązań: Pierwsza liczba jest postaci: 1 0 ?
  gdzie ? to cyfra od 0 do 9.
  Czyli poprawne pierwsze liczby to:
  100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109.
  
  Każda z tych liczb w pierwszym kroku daje wynik 99 [ np: 103 - (1 + 3) = 99 ]
  a potem kolejno w drugim kroku 81, w trzecim 72 itd.
  Na przykład liczba 103:
  
  ..........103, 99, 81, 72, 63, 54, 45, 36, 27, 18, 9, ..0
  Krok:........1....2...3....4....5....6....7....8....9..10..11
  ===============================
  
  Jak do tego dojść? Od końca:
  W jedenastym kroku liczba musi być jednocyfrowa,
  aby odjęta sama od siebie dała zero.
  
  W dziesiątym kroku oczekujemy liczby dwucyfrowej postaci "a b" czyli 10a + b.
  Po odjęciu sumy cyfr dostajemy:
  
  10a + b - (a + b) = 9a
  
  Jeżeli liczba 9a ma być jednocyfrowa to jedyną możliwością jest a = 1.
  Czyli liczba druga od końca ma być postaci: "1?"
  gdzie o cyfrze "?" jeszcze nic nie wiemy.
  
  Ale każda z liczb postaci 10 + x po odjęciu sumy cyfr daje 10 + x - (1 + x) = 9
  więc liczba z poprzedniego kroku (trzeciego od końca) nie może już być
  postaci 1? tylko 2?
  Mamy dla każdej cyfry 'x': 20 + x - (2 - x) = 18. Trzecią liczbą od końca ma być 18.
  
  Ostatnie liczby wyglądają tak: 2? ---> 18 ----> 9 ----> 0
  Z czego może się wziąć "2?"
  NIE z innej liczby postaci 2?, bo każda daje 18. Wobec tego z liczby 3?.
  Ale:
  30 + x - (3 + x) = 27, czyli liczba postaci "2?" to MUSI być 27.
  
  Ostatnie liczby wyglądają tak: 3? ---> 27 ---> 18 ----> 9 ----> 0
  Rozumując tak dalej dochodzimy (dodając 1 do cyfry dziesiątek i odejmując 1 od cyfry jedności) do ciągu kroków:
  
  81, 72, 63, 54, 45, 36, 27, 18, 9, 0
  
  Ale potrzebne jeszcze dwa kroki.
  Liczbą otrzymaną po drugim z kolei (od początku licząc) krokiem jest 9?
  Ale:
  90 + x - (9 + x) = 81
  Każda liczba postaci 9? daje w drugim kroku 81.
  Liczba startowa NIE MOŻE być więc równa 9? bo tracimy jeden krok.
  Próbujemy więc 3-cyfrowej pierwszej liczby w postaci 10?
  Mamy:
  100 + x - (1 + x) = 99
  
  W pierwszym kroku ZAWSZE dostajemy 99, a liczbą startową jest dowolna liczba
  naturalna z zakresu od 100 do 109. Stąd rozwiązanie.
  =========================
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie