Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.3.2013 (09:56)

  Dane:
  A0 = 8 * 10^15 Bq - aktywność dla czasu t = 0.
  [ Jednostka aktywności to Bq nie Bg,, od nazwiska Becquerel ]
  T1/2 = 10 min = 600 s - czas połowicznego rozpadu
  m = 1 g - masa próbki
  \mu = 211 g/mol - masa molowa izotopu 211 Pb
  t = 2 * T1/2 - czas po którym mamy obliczyć aktywność
  
  Szukamy ilości jąder N0 w chwili początkowej oraz aktywności po czasie t.
  
  Kilka uwag o wzorach (to nie należy do rozwiązania)
  W trakcie rozpadu promieniotwórczego ilość pozostałych jąder N(t) zależy od czasu według jednego z dwóch wzorów:
  
  N(t)=N_0 e^{-\lambda t} = N_0 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}
  
  gdzie:
  N(t) - ilość jąder pozostałych po czasie t
  N0 - początkowa ilość jąder (dla t = 0)
  lambda - szybkość rozpadu (nie myl z długością fali !!!). Lambda ma wymiar 1/s
  T1/2 - czas połowicznego rozpadu
  e - podstawa logarytmów naturalnych, e = około 2,72
  
  Te dwa zapisy dają identyczne rezultaty, ale są mylące.
  W tym zadaniu posługujemy się wzorem z T1/2.
  Związek pomiędzy lambda i T1/2 jest taki:
  
  T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\qquad\quuad\mbox{oraz|]qquad\qquad \lambda =\frac{\ln 2}{T_{1/2}}
  
  Aktywność jest to ilość rozpadów w jednostce czasu (czyli szybkość zmiany N).
  Też mamy dwa wzory, dające ten sam wynik:
  
  A(t) = \lambda N(t) = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}N(t)
  
  Te dwa wzory przechodzą w siebie nawzajem przy podstawieniu zależności lambda od T1/2 jak powyżej. W tym zadaniu uzywamy postaci z T1/2.
  =========================================
  
  Rozwiązanie:
  Ilość jąder N0 w chwili początkowej:
  Z drugiego wzoru na aktywność dla t = 0 dostajemy
  
  N_0 = A_0\,\frac{T_{1/2}}{\ln 2} = 8\cdot 10^{15}\cdot\frac{600}{\ln 2}\,\approx\,6{,}92\cdot 10^{18}
  
  Wymiar wyniku: [ N0 ] = Bq * s = 1/s * s = 1 (wynik bezwymiarowy)
  1 Bq to 1 rozpad na sekundę, czyli wymiar 1 Bq = 1/s.
  
  Po dwóch okresach połowicznego rozpadu zgodnie ze wzorem na N(t)
  dla t = 2 * T1/2 mamy N = 2^(-2) = 1/4.
  Ilość jąder zmaleje 4 razy więc aktywność także.
  
  A(t = 2T1/2) = (1/4) * 8 * 10^15 = 2 * 10^15 Bq
  To kończy rozwiązanie.
  =========================================
  
  UWAGA:
  Masa próbki NIE jest potrzebna, ale możemy zweryfikować za jej pomocą początkową ilość jąder. masa molowa 211 Pb wynosi 211 g/mol więc
  
  1g to 1 / 211 mola.
  
  Mnożymy ilość moli przez liczbę Avogadro:
  
  Ilość jąder = (1 / 211) * 6,02 * 10^23 = 2,85 * 10^21
  
  To mnie zaskakuje, bo z aktywności wychodzi N0 = 6,92 * 10^18.
  Nawet jeżeli masa byłaby równa 1 mg, to te liczby się NIE ZGADZAJĄ.
  Albo podana aktywność nie jest aktywnością w chwili początkowej,
  albo masa podana jest bez sensu (powinna być równa około 2,43 mg).
  =========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 18.3.2013 (17:39)

    Tak, gdzie jest błąd LaTeXa powinno być:
    
    lambda = ln(2) / T1/2 oraz T1/2 = ln(2) / lambda
    
    Sorry, już nie mogę poprawić.