Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 16.3.2013 (01:23)

  1a)
  Wierzchołki: tyle, co w podstawie (25) plus jeden wspólny. Razem: 26
  Krawędzie: tyle, co w podstawie (25) plus tyle samo bocznych. Razem: 50
  Ściany: 25 bocznych i jedna podstawa. Razem: 26
  
  1b)
  Patrząc na (1a) widzimy, że podstawa jest 40 - 1 = 39 kątem.
  Wobec tego wierzchołków ma 39 + 1 = 40, krawędzi 2 * 39 = 78.
  ===================
  
  2)
  Na objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego są znane wzory.
  Oznaczmy przez 'a' długość krawędzi czworościanu. Wtedy:
  
  Objętość V= a^3\,\frac{sqrt{2}}{12}\qquad\qquad Pole powierzchni [/tex]P = a^2\sqrt{3}[/tex]
  
  Pierwszy wzór pozwala na znalezienie 'a' (skracamy pierwiastek, mnożymy obie strony przez 12, dzielimy przez 16 i wyciągamy pierwiastek sześcienny)
  
  a^3\,\frac{sqrt{2}}{12}=\frac{16}{3}\sqrt{2}\qquad\qquad\mbox{zatem}\qquad\qquad a = \sqrt[3]{4\cdot 16} = 4\,\mbox{cm}
  
  Z drugiego wzoru, podstawiając a = 4, znajdujemy pole P
  
  P = 4^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}
  
  ===================
  
  3)
  Zrób proszę rysunek:
  Przetnij ten ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do podstawy, zawierającą wysokość podstawy. Przechodzi ona także przez wysokość ściany bocznej. Ta właśnie wysokość, wysokość ostrosłupa i część wysokości podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Kąt alfa to kąt przy podstawie tego trójkąta.
  Jeżeli oznaczymy wysokość ściany bocznej przez małe 'h' to sinus liczymy jako:
  
  sin(alfa) = H / h
  
  Potrzebne jest 'h'. Obliczymy 'h' z tw. Pitagorasa. Zauważ, że podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym i że wysokość ostrosłupa przecina podstawę w środku tego trójkąta. Środek trójkąta równobocznego dzieli jego wysokość w stosunku 1 : 2. Znamy długość boku podstawy (a = 6) więc znamy wysokość podstawy (a * pierwiastek(3) / 2). Bierzemy 1/3 tej wysokości, niech nazywa się to 'x'
  
  x = (1/3) * 6 * pierwiastek(3) / 2 = pierwiastek(3)
  
  i obliczamy 'h' z tw. Pitagorasa:
  
  h = \sqrt{H^2 + x^2} = \sqrt{4^2 +(\sqrt{3}\,)^2} = \sqrt{19}
  
  Szukany sinus jest więc równy:
  
  \sin\alpha = \frac{H}{h}=\frac{4}{\sqrt{19}}=\frac{4}{19}\sqrt{19}
  
  ===================
  
  4)
  Zrób proszę rysunek.
  Przetnij ten ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do podstawy, zawierającą przekątną podstawy. Przechodzi ona także przez krawędź boczną. Ta właśnie krawędź, wysokość ostrosłupa i połowa przekątnej podstawy tworzą trójkąt prostokątny z którego znajdziemy wysokość ostrosłupa H.
  Kąt 60 stopni jest przy podstawie tego trójkąta więc:
  
  H / [5 * pierwiastek(2)] = tg(60) ; stąd:
  H = 5 * pierwiastek(2) * pierwiastek(3) = 5 * pierwiastek(6).
  
  Obliczamy objętość. Pole podstawy (kwadratu) to połowa iloczynu przekątnych czyli
  P = [5 * pierwiastek(2)]^2 / 2 = 25
  Objętość:
  V = (1/3) * H * P = (1/3) * 5 * pierwiastek(6) * 25 = 125/3 * pierwiastek(6) cm^3
  
  Abu obliczyć pole powierzchni bocznej trzeba znać wysokość ściany bocznej. Ta wysokość (znaczmy ją h), wysokość ostrosłupa H i odcinek równy połowie krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Połowa krawędzi podstawy (kwadratu) to:
  
  x = (1/2) * 10 * pierwiastek(2) / pierwiastek(2) = 5
  
  Z tw. Pitagorasa:
  
  h = \sqrt{x^2 + H^2} = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{6})^2} = 5\sqrt{7}
  
  Pole Pb powierzchni bocznej (czterech ścianek) wynosi:
  
  Pb = 4 * (1/2) * 5 * 5 * pierwiastek(7) = 50 * pierwiastek(7) cm^2.
  ===================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie