Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 9.3.2013 (07:56)

  Ten graniastosłup w załączniku jest trochę koślawy, ale wziąłem rysunek do innego zadania. Ale tutaj też się przyda.
  
  1.
  Ta przekątna, krawędź graniastosłupa i przekątna podstawy tworzą trójkąt prostokątny w którym kąt przy podstawie wynosi 30 stopni (patrz trójkąt CAD na rysunku w załączniku). Z tego wynika, że:
  
  Długość przekątnej podstawy (zielona linia) dzielona przez długość przekątnej graniastosłupa (czerwona linia) to kosinus 30 stopni czyli pierwiastek(3) / 2.
  
  Potrzebujemy przekątnej podstawy. Przekątna kwadratu o boku 3 cm ma długość:
  
  d = 3 * pierwiastek(2) cm.
  
  Już możemy liczyć długość przekątnej graniastosłupa: D = d / cos(30).
  
  D = 3 * pierwiastek(2) / [pierwiastek(3)/2 ] = 2 * pierwiastek(6)
  ===========================
  
  2.
  a)
  Wysokość to jednocześnie długość krawędzi bocznej graniastosłupa.
  Z takiego samego trójkąta, jak w zadaniu 1, możemy znaleźć tangens kąta DAC.
  Jest to stosunek |DC| / |AC|.
  
  |AC| to długość przekątnej kwadratu o boku 10 cm czyli 10 * pierwiastek(2) cm.
  tangens szukanego kąta to:
  
  tg(kąta DAC) = 10 * pierwiastek(2) / [ 10 * pierwiastek(2) ] = 1. Kąt to 45 stopni.
  
  b)
  Kąt między dwiema przecinającymi się liniami mierzy się na płaszczyźnie zawierającej obie linie. Mamy taką płaszczyznę, jest ona utworzona przez punkty ABD.
  (pamiętaj, że 3 punkty, gdy nie leżą na jednej prostej, to tworzą płaszczyznę).
  
  Kąt, o który chodzi, to kąt DAB na tej płaszczyźnie.
  Obliczymy jego kosinus z tw. kosinusów (uogólnionego dla dowolnych trójkątów tw. Pitagorasa). Dla trójkąta DAB ma ono postać:
  
  |BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 - 2\cdot|AB|\cdot|AD|\cdot \cos(DAB)
  
  Z tego równania mamy:
  
  \cos(DAB) = \frac{|AB|^2 + |AD|^2 - |BD|^2}{2\cdot|AB|\cdot|AD|}
  
  Potrzeba nam |BD| i |AD|.
  Z tw. Pitagorasa:
  
  |BD| = \sqrt{10^2 + (10\sqrt{2}\,)^2} = 10\sqrt{3}
  
  oraz, ponieważ |AC| = 10*pierwiastek(2) = |CD| to |AD| = 20 (jako przekątna kwadratu o boku 10*pierwiastek(2).
  
  Wstawiamy |BD| i |AC| do wzoru na kosinus:
  
  \cos(DAB) = \frac{10^2 + 20^2 - (10\sqrt{3}\,)^2}{2\cdot 10\cdot 20} = \frac{1}{2}
  
  Wobec tego kąt DAB wynosi 60 stopni
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ===========================

  Załączniki

  • graniastoslup.pdf (7 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie