Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 7.3.2013 (17:08)

  Zadanie jest pojęciowo proste, ale trzeba się "naliczyć". Przede wszystkim zauważ, że w sześciokącie foremnym długa przekątna jest równa 2 razy bok sześciokąta, a pole takiego sześciokąta składa się z 6 trójkątów równobocznych. To się przyda do obliczania boku podstawy.
  
  Po kolei policzymy:
  -- pole podstawy
  -- długość boku podstawy
  -- długość krawędzi bocznej ostrosłupa
  -- pole 1 ścianki ostrosłupa
  -- i na końcu pole powierzchni całkowitej = pole podstawy + 6 razy pole scianki bocznej.
  
  Pole podstawy P liczymy używając wzoru na objętość V ostrosłupa, którego wysokość wynosi h.
  V = (1/3) P * h ; stąd P = 3V / h
  P = 3 * 18 * pierwiastek(3) / 4 = (27 / 2) * pierwiastek(3). Mamy pole podstawy.
  
  Pole P to suma 6 pól trójkątów równobocznych o boku 'a'.
  Pole jednego takiego trójkąta to:
  p = P / 6 = (27 / 12) * pierwiastek(3) = (9 / 4) * pierwiastek(3).
  Zależność pola trójkąta równobocznego od jego boku to:
  p = a^2 * pierwiastek(3) / 4 [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  stąd:
  a^2 = 4 * p / pierwiastek(3) = 4 * (9 / 4) * pierwiastek(3) / pierwiastek(3) = 9
  czyli a = 3. Mamy bok podstawy.
  
  Liczymy krawędź boczną. Trójkąt, utworzony z tej krawędzi, wysokości ostrosłupa i połowy długiej przekątnej podstawy jest prostokątny. Ponieważ połowa przekątnej ma długość równą bokowi podstawy to przyprostokątne tego trójkąta mają długości 3 i 4, a przeciwprostokątna (krawędź ostrosłupa) z tw. Pitagorasa to:
  L = pierwiastek(3^2 + 4^2) = 5. . mamy krawędź podstawy.
  
  Ścianka boczna ostrosłupa to trójkąt równoramienny o bokach = 5 i podstawie = 3.
  Jego wysokość H liczymy z tw. Pitagorasa biorąc połowę podstawy czyli 3/2.
  H = pierwiastek[ 5^2 - (3/2)^2 ] = (1/2) * pierwiastek(91).
  Pole ścianki bocznej Pb wynosi:
  Pb = (1/2) a * H = (1/2) * 3 * (1/2) * pierwiastek(91) = (3/4) * pierwiastek(91)
  (tak niemiło wyszło, może się pomyliłem...)
  
  Mamy wszystko: pole podstawy P i pole ścianki bocznej Pb.
  Pole powierzchni całkowitej Pc wynosi:
  
  Pc = P + 6 * Pb = (27 / 2) * pierwiastek(3) + 6 * (3/4) * pierwiastek(91) ; upraszczamy do:
  
  Pc = (9 / 2) * [ 3 * pierwiastek(3) + pierwiastek(91) ]

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie