Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 9.3.2013 (11:57)

  Rysunki do zadań są w załączniku.
  
  Zadanie 1.
  Prosta 'k' to ta, przy której jest napis "10 cm". Płaszczyzna π to ten brązowy (?) kontur.
  Odległość punktu B od płaszczyzny znajdujemy rzutując punkt B prostopadle na płaszczyznę.
  Otrzymujemy punk C. Rzutem odcinka AB na płaszczyznę jest odcinek AC.
  Kąt 45 stopni to kąt CAB i trójkącie CAB.
  Ponieważ kąt ACB jest prosty to kąt CBA także wynosi 45 stopni. Trójkąt ABC jest więc równoramienny i odcinki AC i BC są równe. Oznaczmy szukaną długość |BC| przez x.
  Mamy wtedy [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ] z tw. Pitagorasa:
  
  x^2 + x^2 = 10^2 czyli x^2 = 5. Stąd x = pierwiastek(5).
  =====================
  
  Zadanie 2.
  Rzutujemy prostopadle punkt C na płaszczyznę π otrzymując punkt D.
  Szukany kąt to zielony kąt CAD w trójkącie CAD.
  Ponieważ z zadania wynika, że |CD| = |AB|, a wiemy, że |AD| = (1/2) |AB| to
  
  tangens kąta CAD = |CD| / |AD| = 2.
  Takiemu tangensowi odpowiada kąt około 63,4 stopnia
  =====================
  
  Zadanie 3.
  Przekątne kwadratu DCC1D1 (te zielone) przecinają się w punkcie E.
  Rzutujemy ten punkt prostopadle na CD dostając punkt F (rzutem odcinka AE na płaszczyznę ABCD jest odcinek FA).
  Kat o który chodzi w zadaniu to niebieski kąt FAE.
  
  Trójkąt FAE jest prostokątny gdyż (z konstrukcji) odcinek EF jest prostopadły do płaszczyzny ABCD więc takze prostopadly do kazdej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, więc i do prostej AF.
  
  Sinus kąta FAE to stosunek |EF| / |EA|
  
  Oznaczmy długość boku sześcianu przez '2a'.
  Wtedy |EF| = a (bo przekątne przecinają się w środku ścianki)
  Z tw. Pitagorasa: |AF| = pierwiastek(a^2 + (2a)^2) = a * pierwiastek(5) ; następnie:
  Z tw. Pitagorasa: |AE| = pierwiastek[ a^2 + (a*pierwiastek(5))^2 ] = a * pierwiastek(6)
  
  Szukany sin(kąta FAE) = a / [a * pierwiastek(6)] = pierwiastek(6) / 6
  =====================
  
  Zadanie 4.
  Wystarczy rysunek. Płaszczyzna ABC1D1 to ta szara.
  Ponieważ przechodzi ona przez punkty A i D1 więc przecina bok ADD1A1 wzdłuż AD1.
  Ale odcinek AD1 jest przekątną ścianki ADD1A1, tak samo, jak odcinek A1D.
  Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym.
  Tak, prosta A1D jest prostopadła do płaszczyzny (ABC1D1).
  =====================

  Załączniki

  • geometria.pdf (103 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie