Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.3.2013 (10:34)

  7.174
  Suma po lewej stronie jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego,
  mającego pierwszy wyraz a1 = 1 / (x + 2) oraz iloraz równy q = (2x + 1) / (x + 1).
  
  Aby suma była skończona wartość bezwzględna |q| < 1 czyli:
  
  | (2x + 1) / (x + 2) | < 1
  
  Nierówność tą rozbijamy na 2 przypadki:
  
  a)
  Albo (2x + 1) / (x + 2) >= 0 i wtedy |...| = (2x + 1) / (x + 2) < 1
  Warunek (2x + 1) / (x + 2) >= 0 oznacza, że:
  Licznik jest nieujemny, mianownik dodatni czyli 2x + 1 >= 0 oraz x + 2 > 0 czyli
  x >= -1/2 oraz x > -2 czyli x >= -1/2
  Licznik jest niedodatni, mianownik ujemny czyli 2x + 1 <= 0 oraz x + 2 < 0 czyli
  x < -1/2 oraz x < -2 czyli x < -2
  W sumie daje to przedział (-oo; -2) U < -1/2; +oo)
  Wtedy warunek |q| < 1 sprowadza się do (2x + 1) / (x + 2) < 1
  Po przeniesieniu "1" na lewą stronę i sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
  (2x + 1 - x - 2) / (x + 2) = (x - 1) / (x + 2) < 0
  Licznik jest dodatni, mianownik ujemny czyli x - 1 > 0 oraz x + 2 < 0 czyli
  x > 1 oraz x < -2, sprzeczność
  Licznik jest ujemny, mianownik dodatni czyli x - 1 < 0 oraz x + 2 > 0 czyli
  x < 1 oraz x > -2, co daje przedział (-2; 1)
  W sumie daje to przedział (-2; 1). Mnożymy go przez przedział z warunku dodatniości.
  Daje to przedział <-1/2; 1)
  
  b)
  Albo (2x + 1) / (x + 2) < 0 i wtedy |...| = -(2x + 1) / (x + 2) < 1
  Warunek (2x + 1) / (x + 2) < 0 oznacza, że:
  Licznik jest dodatni, mianownik ujemny czyli 2x + 1 > 0 oraz x + 2 < 0 czyli
  x > -1/2 oraz x < -2 , sprzeczność
  Licznik jest ujemny, mianownik dodatni czyli 2x + 1 < 0 oraz x + 2 > 0 czyli
  x < -1/2 oraz x > -2 czyli x należy do (-2; -1/2)
  W sumie daje to przedział (-2; -1/2)
  Wtedy warunek |q| < 1 sprowadza się do -(2x + 1) / (x + 2) < 1
  Po przeniesieniu "1" na lewą stronę i sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
  (-2x - 1 - x - 2) / (x + 2) = (-3x - 3) / (x + 2) < 0
  Licznik jest dodatni, mianownik ujemny czyli -3(x + 1) > 0 oraz x + 2 < 0 czyli
  x < -1 oraz x < -2, czyli x < -2
  Licznik jest ujemny, mianownik dodatni czyli -3(x + 1) < 0 oraz x + 2 > 0 czyli
  x > -1 oraz x > -2, czyli x > -1
  W sumie daje to przedział (-oo; -2) U (-1; +oo).
  Mnożymy go przez przedział z warunku ujemności
  Daje to przedział (-1; -1/2)
  
  Łączymy (a) i (b) dostając na |q| < 0 przedział (-1; 1).
  
  Suma szeregu geometrycznego to a1 / (1 - q), nierówność ma postać:
  
  S_{\infty}=\frac{a_1}{1-q}= \frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{2x+1}{x+2}} = \frac{-2x^3-4x^2+x-2}{2(x-1)} \geqslant 3
  
  Przenosimy 3na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  
  -\frac{2x^3+4x^2+5x-8}{2(x-1)} \geqslant 0
  
  Wartość x = 1 jest wykluczona przez warunek |q| < 1, w mianowniku nie ma zera.
  
  Niestety równanie 2x^3+4x^2+5x-8 = 0 nie da rozwiązać metodami ze szkoły średniej.
  W załączniku jest wykres funkcji (2x^3+4x^2+5x-8) / [2(x-1)]
  Jak widać ma on jedno miejsce zerowe dla x = około 0,827 i nierówność jest spełniona
  dla x z przedziału (-oo; 0,827)U (1; +oo)
  
  Ten przedział mnożymy przez dziedzinę (czyli przez warunek |q| < 1) dostając ostatecznie:
  Rozwiązanie:
  
  x \in (-1; 0,827)
  
  
  Ta druga liczba pochodzi ze wzoru na rozwiązanie równania:
  2x^3+4x^2+5x-8 = 0
  bardziej zaawansowanymi metodami i jest równa:
  
  x = \frac{\sqrt[3]{274+3\sqrt{8418}}}{3\sqrt[3]{4}}-\frac{7}{3\sqrt[3]{548+6\sqrt{8418}}}-\frac{2}{3}\,\approx\, 0{,}8268769240

  Załączniki

  • wykres.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie