Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.3.2013 (06:45)

  7.172
  Suma po lewej stronie jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego,
  mającego pierwszy wyraz a1 = 1 / (x + 1) oraz iloraz także równy q = 1 / (x + 1).
  
  Aby suma była skończona wartość bezwzględna |q| < 1 czyli:
  
  1 / |x + 1| < 1 ; czyli | x + 1| > 1
  Albo x + 1 >= 0 i wtedy |x + 1| = x + 1 ; co daje nierówność x + 1 > 1 czyli x > 0
  (automatycznie warunek x > 0 zapewnia zachodzenie x + 1 >= 0)
  Albo x + 1 < 0 i wtedy |x + 1| = -x - 1 ; co daje nierówność -x - 1 > 1 czyli x < -2
  (automatycznie warunek x < -2 zapewnia zachodzenie x + 1 < 0)
  Rozwiązanie nierówności musi być w przedziale (-oo; -2) U (0; +oo).
  Zauważ, że ten przedział wyklucza x = -1, nie mamy więc zera w mianowniku.
  
  Suma szeregu geometrycznego to a1 / (1 - q), nierówność ma postać:
  
  S_{\infty}=\frac{a_1}{1-q}= \frac{\frac{1}{x+1}}{1-\frac{1}{x+1}} = \frac{1}{x}\leqslant 3x-2
  
  Przenosimy 3x - 2 na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  
  \frac{1 -x(3x-2)}{x}=\frac{-3x^2+2x+1}{x}\leqslant 0
  
  Wartość x = 0 jest wykluczona przez warunek |q| < 1, w mianowniku nie ma zera.
  
  a)
  Albo licznik jest dodatni i mianownik ujemny, co daje:
  -3x^2 + 2x + 1 > 0 oraz x < 0
  Trójmian kwadratowy ma rozwiązania x1 = -1/3; x2 = 1 czyli mamy nierówności:
  -3(x + 1/3)(x - 1) > 0 oraz x < 0
  Pierwszy iloczyn przedstawia parabolę w kształcie odwróconego "U".
  Jest on dodatni dla x z przedziału (-1/3; 1)
  Ponieważ ma być x < 0 całe rozwiązanie tego przypadku to x należy do (-1/3; 0)
  
  b)
  Albo licznik jest ujemny i mianownik dodatni, co daje:
  -3x^2 + 2x + 1 < 0 oraz x > 0
  Trójmian jest ujemny dla x z przedziału (-oo; -1/3) U (1; +oo)
  Ponieważ ma być > 0 całe rozwiązanie tego przypadku to x należy do (1; + oo).
  
  Łączymy oba przypadki: x należy do przedziału (-1/3; 0) U (1; +oo).
  Dodajemy warunek na |q| < 1, czyli, przypominam:
  x należy do przedziału (-oo; -2) U (0; +oo).
  Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie, bierzemy więc iloczyn warunków.
  
  Daje to ostatecznie rozwiązanie: x \in (1; +\infty)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie