Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.3.2013 (16:13)

  7.
  Zobaczmy, co mamy obliczyć i zastosujmy wzór na mnożenie potęg o tych samych podstawach. Zauważ, że 0,125 = 1/8.
  
  b_{1}\cdot b_2\cdots b_{10}= \left(\frac{1}{8}\right)^{a_1}\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{a_2}\cdots\left(\frac{1}{8}\right)^{a_{10}} = \frac{1}{8^{a_1 + a_2+\cdots+a_{10}}}=\frac{1}{8^{S_{10}}}
  
  Do obliczeń potrzebujemy sumy S10 pierwszych 10 wyrazów ciągu.
  Ta suma wynosi (a1 - pierwszy wyraz, r - różnica ciągu)
  
  S_{10} = 10a_1 + r\,\frac{10(10-1)}{2} = 10a_1 + 45r = 5(2a_1 + 9r)
  
  Zapiszmy informację o dzieleniu wyrazu a10 przez a7.
  Wiemy, że a10 = a7 + 3r, z drugiej strony: a10 = 3 * a7 + 1, czyli:
  
  a_{10} = a_7 + 3r = 3a_7 + 1\qquad\mbox{zatem}\qquad a_7 = \frac{3r - 1}{2}
  
  Ale jednocześnie a7 = a1 + 6r. Podstawiamy a7 do poprzedniego równania:
  
  a_1 + 6r = \frac{3r - 1}{2} \qquad\mbox{zatem}\qquad 2a_1 + 9r = -1
  
  Widzisz, że 2a1 + 9r to właśnie wyrażenie, które pojawiło się przy liczeniu S10.
  Wobec tego:
  
  S_{10} = 5\cdot (-1) = -5
  
  i całe wyrażenie, które mamy policzyć to:
  
  \frac{1}{8^{S_{10}}} = \frac{1}{8^{-5}} = 8^5 = 32768
  
  Nie było łatwo :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie