Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 1

  antekL1 24.2.2013 (01:24)

  Czytaj ^2 jako "do kwadratu" jak się gdzieś pojawi.
  
  1.
  Odejmujemy a(n) od a(n+1) i badamy znak różnicy.
  a(n+1) - a(n) = [ (n + 1) + 1 ] / [3(n + 1) + 4 ] - [ n + 1] / [ 3n + 4 ]
  Wymnażamy nawiasy
  a(n+1) - a(n) = ( n + 2 ) / (3n + 7 ) - ( n + 1) / ( 3n + 4 )
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  a(n+1) - a(n) = [ (n + 2)(3n + 4) - (n + 1)(3n + 7) ] / [ (3n + 7)(3 n + 4) ]
  Mianownik jest zawsze dodatni. Badamy licznik L. Wymnażamy nawiasy:
  L = 3n^2 + 6n + 4n + 8 - (3n^2 + 3n + 7n + 7) = 1 ; ładnie się poskracało.
  
  Wyrażenie a(n+1) - a(n) jest większe od zera dla każdego n > 0.
  Ciąg jest rosnący.
  
  Wyraz a(3) = (3 + 1) / (3 * 3 + 4) = [/b]4 / 13[/b].
  Wyraz a(12) = (12 + 1) / (3 * 12 + 4) = [/b]13 / 40[/b].
  ============================
  
  2.
  Używając wyrazów a3 i a6 piszemy 2 równania na pierwszy wyraz a1 ciągu i różnicę r.
  a3 = a1 + 2r = 2
  a6 = a1 + 5r = 5
  ------------------- odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego:
  3r = 3
  r = 1 <---- mamy różnicę, wstawiamy ją do pierwszego równania
  a1 + 2 * 1 = 2
  a1 = 0 <---- mamy pierwszy wyraz.
  Ciąg an ma wyjątkowo prostą postać: an = n - 1
  
  Używamy dalej wzoru na sumę 'n' pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.
  W przypadku a1 = 0 oraz r = 1 wzór ten sprowadza się do:
  Sn = n + n(n + 1) / 2 = n(n + 3) / 2
  Aby dostać sumę wymaganą w zadaniu odejmujemy od sumy pierwszych 20 wyrazów sumę pierwszych 6 wyrazów:
  S20 - S6 = 20 * (20+ 3) / 2 - 6 * (6+ 3) / 2 = 203
  ============================
  
  3.
  Niech a1 oznacza pierwszy wyraz ciągu, q - jego iloraz. Wtedy:
  a1 = 5
  a3 = a1 * q^2 = 45
  ---------------------- dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze:
  q^2 = 9
  Albo q = -3, albo q = 3
  
  Są dwa ciągi spełniające warunek zadania:
  Pierwszy: an = 5 * (-3)^(n-1)
  Drugi: an = 5 * 3^(n-1)
  
  Sumę Sn ciągu geometrycznego określa wzór: Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)
  Suma S5 dla pierwszego ciągu: S5 = 5 * [(-3)^5 - 1] / (-3 -1) = 305
  Suma S5 dla drugiego ciągu: S5 = 5 * (3^5 -1) / (3 -1) = 605
  ============================
  
  4.
  Z własności ciągu arytmetycznego: podwojona środkowa liczba jest sumą sąsiednich:
  2x = -4 + y
  Z własności ciągu geometrycznego: kwadrat środkowej liczby jest iloczynem sąsiednich:
  50x = y^2
  Z pierwszego równania mamy y = 2x + 4 ; podstawiamy to do drugiego równania:
  50x = (2x + 4)^2 ; wymnażamy nawias, wszystko przenosimy na prawą stronę:
  0 = 4x^2 - 34x + 16 ; dzielimy przez 2
  2x^2 - 17x + 8 = 0 ; rozwiązujemy równanie kwadratowe:
  delta = (-17)^2 - 4 * 2 * 8 = 225
  pierwiastek(delta) = 15
  x1 = (17 - 15) / 4 = 1 / 2 ; i wtedy y1 = 5
  x2 = (17 + 15) / 4 = 8 / 2 ; i wtedy y2 = 20
  ============================
  
  5.
  a) Liczba logarytmowana musi być dodatnia czyli 5 - x > 0 ; stąd x < 5
  b) Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1,
  czyli x - 3 > 0 oraz x różne od 3
  Oba warunki w iloczynie dają x należy do (3, 5) / {4}
  ============================
  
  6.
  Zapis: log_p(X) oznacza logarytm o podstawie p z X
  a)
  log_3(81) = log_3 [3^(-4) ] = -4
  b)
  log_2(64) = log_2 [2^6] = 6
  ============================
  
  7.
  a)
  Przekształcamy lewą stronę:
  2^(x + 3) - 2^x = 2^x * 2^3 - 2^x = 2^x * (8 - 1) = 7 * 2^x = 112 ; stąd
  2^x = 16
  Ponieważ 16 = 2^4 to x = 4
  b)
  Przekształcamy lewą stronę:
  (2/3)^(3x - 2) * (9/4)^(x + 1) = [ (2^3 / 3^3)^x / (2/3)^2 ] * [ (9/4)^x * (9/4) ] =
  
  = [(8/27)^x * (9/4) ] * [ (9/4)^x * (9/4) ]= [ (8/27) * (9/4) ]^x * (81/16) =
  
  = (2/3)^x * (81/16)
  
  Nierówność przechodzi w:
  
  (2 / 3)^x * (81 / 16) > (2 / 3)^3 ; mnożymy obie strony przez 16 / 81= (2 / 3)^4
  
  (2 / 3)^x > (2 / 3)^7
  
  Ponieważ 2/3 jest mniejsze od 1 funkcja (2/3)^x jest malejąca.
  Wobec tego nierówność jest spełniona dla x po lewej stronie liczby 7 czyli
  x < 7 lub,, jak wolisz: x należy do przedzialu (-oo, 7)
  ============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie