Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 21.2.2013 (19:04)

  Poniżej zapisuję logarytm o podstawie p z wielkości X jako: log_p(X)
  Jeżeli gdzieś trafi się potęga to znaczek ^ czytaj "do potęgi", np: ^2 to "do kwadratu".
  Wzór na zamianę podstaw logarytmów: log_a(X) = log_b(X) / log_b(a)
  
  Zadanie 24.
  a)
  Zakładamy, że x + 5 > 0
  Jeżeli znajdziemy warunek na x > 0 to też będzie spełnione x + 5 > 0
  Umieszczamy lewą i prawą stronę w wykładniku liczby 5
  5^[ log_5(x + 5) ] = 5^m
  Ponieważ funkcja potęgowa jest określona dla każdego wykładnika to:
  x + 5 = 5^m
  x = 5^m - 5
  5^m - 5 > 0 ; bo pierwiastek ma być dodatni ; dzielimy przez 5
  5^(m - 1) > 1 ; ponieważ 5^0 = 1 to nierówność oznacza, gdy podstawa potęgi > 1, że:
  m - 1 > 0
  m > 1 czyli m należy do przedziału (1, +oo)
  
  b)
  Zakładamy, że x + 4 > 0 oraz że m jest różne od -1.
  Jeżeli znajdziemy warunek na x > 0 to też będzie spełnione x + 4 > 0
  Umieszczamy lewą i prawą stronę w wykładniku liczby 0,5 i rozumując jak poprzednio mamy:
  x + 4 = 0,5^[ m / (m + 1) ]
  x = 0,5^[ m / (m + 1) ] - 4
  0,5^[ m / (m + 1) ] - 4 > 0 bo x ma być dodatni. Dalej zapisuję 0,5 jako 1/2
  (1/2)^[ m / (m + 1) ] > (1/2)^(-2)
  Zauważ, że to po prawej stronie jest prawdą: 4 = 2^2 = 1 / [(1/2)^2] = (1/2)^(-2)
  Teraz uwaga: podstawa potęgi jest < 1 więc z poprzedniej nierówności wynika:
  m / (m + 1) < -2 ; nastąpiła zmiana kierunku znaku nierówności.
  m / (m + 1) + 2 < 0 ; do wspólnego mianownika
  (3m + 2) / (m + 1) < 0
  Albo licznik jest dodatni, mianownik ujemny czyli 3m + 2 > 0 oraz m + 1< 0
  co daje m > -2/3 oraz m < -1; sprzeczność
  Albo licznik jest ujemny, mianownik dodatni czyli 3m + 2 < 0 oraz m + 1> 0
  co daje m < -2/3 oraz m > -1; czyli m należy do przedziału (-1; -2/3)
  Przy okazji wyklucza to zastrzeżoną na początku liczbę m = -1.
  
  c)
  Zakładamy m > 0
  Znajdujemy x
  x = (1/3) * [ 1 - log_3(m) ] ; ponieważ ma być x > 0 to:
  1 - log_3(m) > 0
  1 > log_3(m)
  log_3(3) > log_3(m) ; stąd, ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1,
  3 > m
  m należy do przedziału (0, 3)
  
  d)
  Zakładamy m > 0
  Znajdujemy x
  x = (1/2) [ log_(1/3)(m) - 3 ] ; ponieważ ma być x > 0 to:
  log_(1/3)(m) > 3
  log_(1/3)(m) > log_(1/3)(1/27) ; stąd, ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza od 1,
  m < 1 / 27
  m należy do przedziału (0, 1 / 27)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie