Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 22.2.2013 (09:11)

  Poniżej zapisuję logarytm o podstawie p z wielkości X jako: log_p(X)
  Jeżeli gdzieś trafi się potęga to znaczek ^ czytaj "do potęgi", np: ^2 to "do kwadratu".
  Wzór na zamianę podstaw logarytmów: log_a(X) = log_b(X) / log_b(a)
  
  Zadanie 22.
  a)
  Dziedzina: x^2 + 2x - 2 > 0
  Gdy znajdziemy miejsca zerowe sprawdzimy, czy spełniają ten warunek.
  Logarytm jest zerem gdy argument logarytmu jest równy 1 czyli
  x^2 + 2x - 2 = 1 ; stąd
  x^2 + 2x - 3 = 0
  Ze wzorów Viete'a (suma pierwiastków = -2, iloczyn = -3) dostajemy:
  x1 = -3, x2 = 1
  Oba rozwiązania należą do dziedziny (nie warto podstawiać rozwiązań
  do wzoru x^2 + 2x - 2, zauważ, że gdy x^2 + 2x - 3 = 0 to x^2 + 2x - 2 = 1).
  ====================
  
  b)
  Dziedzina: x / (2x - 1) > 0 oraz 2x - 1 nie jest równe 0.
  Gdy znajdziemy miejsca zerowe sprawdzimy, czy spełniają ten warunek.
  Logarytm jest zerem gdy argument logarytmu jest równy 1 czyli
  x / (2x - 1) = 1 ; przenosimy 1 na lewą stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika
  (1 - x)(2x - 1) = 0
  x = 1
  Łatwo sprawdzić, że rozwiązanie należy do dziedziny.
  ====================
  
  c)
  Dziedzina: x > 0 oraz 2 - x > 0 czyli x należy do przedziału (0, 2)
  Gdy znajdziemy miejsca zerowe sprawdzimy, czy spełniają ten warunek.
  2 * log to log z kwadratu argumentu, suma logarytmów to logarytm iloczynu, czyli:
  log[ x^2(2-x) ] = 0
  Logarytm jest zerem gdy argument logarytmu jest równy 1 czyli
  x^2 (2-x) = 1 ; wymnażamy, przenosimy 1
  -x^3 + 2x^2 - 1 = 0 ; zmieniamy znak
  x^3 - 2x^2 + 1 = 0
  Sprawdzając -1 i 1 znajdujemy jeden pierwiastek: x = 1.
  Przedstawiamy wielomian jako:
  (x^2 + Ax - 1)(x - 1) ; (pisałem w innym rozwiązaniu dlaczego w ten sposób). Wymnażamy:
  x^3 - 2x^2 + 1 = x^3 + (A - 1)x^2 + (-A -1)x + 1 ; porównujemy wyrazy przy jednakowych potęgach x
  -2 = A - 1
  0 = -A - 1 ; stąd A = -1 ; mamy rozkład wielomianu:
  (x - 1)(x^2 - x -1) = 0
  Drugi nawias też ma rozwiązanie, niestety nie uda się ze wzorów Viete'a :(
  delta = (-1)^2 - 4 * 1 * (-1) = 5
  x2 = (1/2)[1 - pierwiastek(5)] = około -0,62
  x3 = (1/2)[1 + pierwiastek(5)] = około 1,62
  Pierwiastek x2 nie należy do dziedziny i go odrzucamy. Zostają:
  x1 = 1; x2 = (1/2)[1 + pierwiastek(5)]
  ====================
  
  d)
  Dziedzina: x + 1 > 0 oraz 2 - x > 0 czyli x należy do (-1, 2)
  Gdy znajdziemy miejsca zerowe sprawdzimy, czy spełniają ten warunek.
  Różnica logarytmów to logarytm ilorazu.
  Logarytm jest zerem gdy argument logarytmu jest równy 1 czyli
  (x + 1) / (2 - x) = 1 ; przenosimy 1, sprowadzamy do wspólnego mianownika
  (2x - 1) / (2 - x) = 0
  x = 1/2 ; należy do dziedziny.
  ====================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie