Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 22.2.2013 (10:34)

  Poniżej zapisuję logarytm o podstawie p z wielkości X jako: log_p(X)
  Jeżeli gdzieś trafi się potęga to znaczek ^ czytaj "do potęgi", np: ^2 to "do kwadratu".
  Wzór na zamianę podstaw logarytmów: log_a(X) = log_b(X) / log_b(a)
  
  Zadanie 18a.
  Argument logarytmu musi być dodatni dla wszystkich liczb rzeczywistych czyli równanie:
  mx^2 - 4x + m + 3 = 0
  nie może nieć rozwiązań, czyli delta < 0
  delta = (-4)^2 - 4m(m + 3) < 0
  mnożymy przez -1/4 (znak nierówności się zmienia), wymnażamy nawias
  m^2 + 3m - 4 > 0
  Ze wzorów Viete'a (suma pierwiastków = -3, iloczyn = -4) znajdujemy:
  m1 = -4; m2 = 1
  Ponieważ współczynnik przy m^2 jest dodatni nierówność spełniona jest na lewo od -4 i na prawo od 1.
  m należy do przedziału (-oo, -4) U (1, +oo)
  Ale ujemne wartości 'm' trzeba odrzucić gdyż wtedy parabola określona przez
  g(m) = m^2 + 3m - 4
  leży całkowicie po osią X (ma kształt odwróconego "U") i wyrażenie pod logarytmem jest ujemne.
  Ostatecznie: m należy do (1, +oo)
  ===================
  
  Zadanie 18b
  Argument logarytmu musi być dodatni dla wszystkich liczb rzeczywistych.
  Z powodu |...| argument jest nieujemny, trzeba zadbać, by nie był zerem, a jest, gdy:
  mx^2 + 2*pierwiastek(2) * x + m + 1 = 0 [równanie 1 ]
  delta = [2*pierwiastek(2)]^2 - 4m(m + 1) = -4m^2 -4m + 8 = -4(m^2 + m - 2)
  Kiedy delta >= 0 ?
  Równanie m^2 + m - 2 = 0 ma (ze wzorów Viete'a) pierwiastki m3 = -2, m4 = 1.
  Ponieważ współczynnik przy m^2 jest ujemny to delta jest nieujemna dla:
  m w przedziale <-2, 1>
  Poza tym przedziałem delta jest ujemna, czyli warunki zadania spełniają
  m należy do (-oo, -2) U (1, +oo)
  ===================
  
  Zadanie 19a
  Funkcja logarytmiczna jest:
  malejąca gdy podstawa jest w granicach 0 < p < 1 oraz rosnąca dla p > 1.
  Zakładamy x > 0
  Funkcja p(m) = 2m + 3 ma miejsce zerowe dla m = -3/2 oraz jest równa 1 dla m = -1
  W swojej dziedzinie, tzn dla x > 0
  f(x) jest malejąca dla m z przedziału (-3/2, -1)
  f(x) jest rosnąca dla m z przedziału (-1, +oo)
  ===================
  
  Zadanie 19b
  Funkcja logarytmiczna jest:
  malejąca gdy podstawa jest w granicach 0 < p < 1 oraz rosnąca dla p > 1.
  Zakładamy x > 0
  Funkcja p(m) = m - 4 ma miejsce zerowe dla m = 4 oraz jest równa 1 dla m = 5.
  Musimy uwzględnić, że przed logarytmem jest znak minus więc:
  a swojej dziedzinie, tzn dla x > 0
  f(x) jest malejąca dla m z przedziału (5, +oo)
  f(x) jest rosnąca dla m z przedziału (4, 5)
  ===================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie