Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 22.2.2013 (08:42)

  Poniżej zapisuję logarytm o podstawie p z wielkości X jako: log_p(X)
  Jeżeli gdzieś trafi się potęga to znaczek ^ czytaj "do potęgi", np: ^2 to "do kwadratu".
  Wzór na zamianę podstaw logarytmów: log_a(X) = log_b(X) / log_b(a)
  
  Zadanie 17.
  a)
  Wyrażenie pod logarytmem musi być dodatnie.
  x^2 - 8x + 12 > 0
  Ze wzorów Viete'a (suma pierwiastków = 8, iloczyn = 12) wyznaczamy miejsca zerowe
  x1 = 2; x2 = 6
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni wyrażenie x^2 - 8x + 12
  jest dodatnie na lewo od 2 i na prawo od 6
  Dziedzina D = (-oo, 2) U (6, +oo)
  ====================
  
  b)
  Wyrażenie pod logarytmem musi być dodatnie.
  x^3 - 2x^2 + 3x - 6 > 0
  Szukając wśród podzielników liczby 6 (czyli sprawdzając 1, -1, 2, -2, 3,...)
  znajdujemy pierwiastek: x1 = 2.
  Aby uniknąć dzielenia wielomianów zapisujemy tak:
  
  x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = (x - 2)(x^2 + Ax + 3)
  
  To ma sens, bo tylko x^2 (ze współczynnikiem 1 ) ma szansę w mnożeniu wyprodukować x^3, oraz +3 w mnożeniu z -2 produkuje -6. Wymnażamy i łączymy wyrazy z tą samą potęgą x.
  (x - 2)(x^2 + Ax + 3) = x^3 + (A - 2)x^2 + (-2A + 3)x - 6
  Porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach x, co daje aż 2 równania na A:
  A - 2 = -2
  -2A + 3 = 3
  co jednoznacznie wskazuje na A = 0, więc:
  
  x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = (x - 2)(x^2 + 3) > 0
  
  Drugi nawias jest zawsze dodatni więc x - 2 > 0 czyli x > 2
  Dziedzina D = (2, +oo)
  ====================
  
  c)
  Mamy aż 3 warunki:
  
  2x / (x + 2) ma być dodatnie czyli x / (x + 2) > 0
  x jest różne od -2 (mianownik niezerowy)
  1 - 2x ma być dodatnie czyli 1 - 2x > 0
  
  Drugi warunek daje x < 1/2, zapiszmy to od razu.
  
  Aby x / (x + 2) > 0 może zachodzić:
  Albo x > 0 oraz x + 2 > 0 czyli x > 0 oraz x > -2 czyli x > 0 (ten warunek załatwia x > -2)
  Albo x < 0 oraz x + 2 < 0 czyli x < 0 oraz x < -2 czyli x < -2 (ten warunek załatwia x < 0)
  
  Łączymy warunki, co daje:
  Dziedzina D = (-oo, -2) U (0, 1/2). Przy okazji wyleciało x = -2.
  ====================
  
  d)
  Podstawa logarytmu ma być dodatnia, ale różna od 1. Poza tym liczba logarytmowana ma być dodatnia, co daje warunki:
  x - 3 > 0 czyli x > 3
  x - 3 różne od 1 czyli x nie może być równe 4
  4 - x > 0 czyli x < 4 (mamy z głowy poprzedni warunek)
  x -2 różne od 1 czyli x nie może być równe 3 (ale to już załatwił pierwszy warunek)
  Dziedzina D = (3, 4)
  ====================
  
  e)
  Podstawa logarytmu ma być dodatnia, ale różna od 1. Poza tym liczba logarytmowana ma być dodatnia, co daje warunki:
  x^2 > 0 czyli x różne od 0
  x^2 różne od 1 czyli x różne od 1 i różne od -1
  -x^2 -2x + 8 > 0
  Ze wzorów Viete'a (suma pierwiastków = -2, iloczyn = -8) znajdujemy
  x1 = 2, x2 = -4
  Ponieważ przy x^2 jest znak minus wyrażenie -x^2 -2x + 8 jest dodatnie dla przedziału (-4, 2)
  Dziedzina: D = (-4, 2) / {-1, 0, 1}
  ====================
  
  f)
  Podstawa logarytmu ma być dodatnia, ale różna od 1. Poza tym liczba logarytmowana ma być dodatnia, co daje warunki:
  x^2 - 1 > 0 czyli x należy do (-oo, -1) U (1, +oo)
  x^2 - 1 różne od 2 czyli x różne od -pierwiastek(2) i różne od pierwiastek(2)
  x^4 - 5x^3 + 3x^2 + 9x > 0
  W ostatnim wyrażeniu wyłączamy x przed nawias: x (x^3 - 5x^2 + 3x + 9)
  i szukamy pierwiastków wśród podzielników liczby 9, tzn. 1, -1, 3, -3,... itd.
  Okazuje się, że x1 = -1. Zapisujemy tak:
  x^3 - 5x^2 + 3x + 9 = (x^2 + Ax + 9)(x + 1) ; wymnażamy i łączymy wyrazy przy tych samych potęgach x.
  x^3 - 5x^2 + 3x + 9 = x^3 + (A + 1)x^2 + (A + 9)x + 9 ; co daje:
  A + 1 = -5
  A + 9 = 3 ; czyli A = -6 ; więc mamy rozkład: (x^2 - 6x + 9)(x + 1)
  Wyrażenie w nawiasie jest pełnym kwadratem. Początkowa nierówność ma postać:
  x (x - 3)^2 (x + 1) > 0
  Nawias podniesiony do kwadratu jest dodatni poza x = 3, które wyłączamy.
  Wyrażenie x (x + 1) jest dodatnie dla x z przedziału (-oo, -1) U (0, +oo).
  Łączymy wszystkie warunki (warto je zaznaczyć na osi liczbowej)
  Dziedzina: D = (-oo, -1) U (1, +oo) / {-pierwiastek(2), pierwiastek(2), 3}
  ====================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie