Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.2.2013 (11:48)

  Poniżej oznaczam przez log_p(X) "logarytm o podstawie p z X".
  
  Przydatne metody rysowania wykresów.
  ** Najpierw rysuje się najprostszy wykres, np. w punkcie (a) jest to log_2(x)
  ** Jeżeli argument funkcji zawiera x + a (dodatnie 'a') przesuwamy poprzedni wykres w lewo. Jest tak dlatego, że wielkość "x+a" będzie wynosić tyle samo, co poprzednio "x" już dla mniejszych x. Podobnie dgy mamy "x - a" (dodatnie 'a') przesuwamy wykres w prawo.
  ** Jeżeli pojawi się wyrażenie typu f(x) + a przesuwamy wykres w górę dla dodatniego 'a' lub w dół dla ujemnego 'a'.
  ** Jeżeli pojawi się -f(x) odbijamy cały wykres jak w lustrze względem osi OX
  ** Jeżeli pojawi się | f(x) | odbijamy jak w lustrze wszystko co poniżej osi X względem tej osi.
  
  Zadanie 23. Używamy podanych metod.
  a)
  Patrz załącznik wykresA,jpg.
  Najpierw rysujemy log_2(x) (czerwona krzywa)
  Potem przesuwamy czerwony wykres o 2 w lewo [ zielona krzywa, log_2(x+2) ]
  Potem odbijamy zielony wykres [ niebieska krzywa, -log_2(x+2) ]
  Potem przesuwamy niebieski wykres o 1 w górę [ żółto/czarny, 1 - log_2(x+2) ]
  Na końcu odbijamy to, co pod osią OX [ czarny wykres |1 - log_2(x+2)| ]
  
  Równanie m = |1 - log_2(x+2)| ma 2 pierwiastki różnych znaków dla m > 0.
  Wystarczy popatrzeć na wykres. Dotyka on osi X tylko w punkcie x = 0
  (wtedy jest 1 pierwiastek) a powyżej osi X, gdyby poprowadzić poziomą linię y = m
  to z jednej strony przetnie ona czarną krzywą dla x < 0, z drugiej strony dla x > 0.
  Ponieważ logarytm ma nieskończony zbiór wartości to dla każdego m > 0
  pozioma prosta w końcu przetnie czarny wykres. Czyli rozwiązaniem jest:
  m należy do (0, +oo)
  ===============
  
  b)
  Patrz załącznik wykresB.jpg
  Najpierw rysujemy log_3(x) (czerwona krzywa)
  Potem przesuwamy czerwony wykres o 1 w lewo [ zielona krzywa, log_3(x+1) ]
  Potem przesuwamy zielony wykres o 2 w górę [ niebiesko/czarny, log_3(x+1) + 2]
  Na końcu odbijamy to, co pod osią OX [ czarny wykres |log_3(x+1) + 2| ]
  
  Z czarnego wykresu widać, że krzywa przecina oś OX w punkcie y = 2
  (można to sprawdzić, wstawiając x = 0 do wzoru na f(x)
  Dla m > 2 pozioma linia y = m przecina wykres w 2 punktach po obu stronach osi Y.
  m należy do (2, +oo)
  ===============
  
  c)
  Patrz załącznik wykresC.jpg
  Najpierw rysujemy log_(1/5)(x) (czerwona krzywa)
  Zauważ, że ponieważ podstawa logarytmu jest < 1 to funkcja jest malejąca.
  Potem przesuwamy czerwony wykres o 5 w lewo [ zielono/czarny, log_(1/5)(x)+5 ]
  Na końcu odbijamy to, co pod osią OX [ czarny wykres |log_(1/5)(x)+5| ]
  
  Czarna linia przecina oś y w punkcie y = 1, więc
  m należy do (1, +oo)
  ===============
  
  d)
  Patrz załącznik wykresD,jpg.
  Najpierw rysujemy log_2(x) (czerwona krzywa)
  Potem przesuwamy czerwony wykres o 4 w lewo [ zielona krzywa, log_2(x+4) ]
  Potem odbijamy zielony wykres [ niebieska krzywa, -log_2(x+4) ]
  Potem przesuwamy niebieski wykres o 1 w górę [ żółto/czarny, 1 - log_2(x+4) ]
  Na końcu odbijamy to, co pod osią OX [ czarny wykres |1 - log_2(x+4)| ]
  
  Czarna linia przecina oś y w punkcie y = 1, więc
  m należy do (1, +oo)
  ===============

  Załączniki

  • wykresa.jpg (8 KB)

  • wykresb.jpg (7 KB)

  • wykresc.jpg (6 KB)

  • wykresd.jpg (9 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie