Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 17.2.2013 (16:37)

  1)
  Jedna prosta jest, a druga?
  
  2)
  a)
  Trzeba obliczyć długości odcinków |AB|, |AC| i |BC| i zsumować.
  |AB| = pierwiastek[(2-(-1))^2 + (-1-(-2))^2] = pierwiastek(10)
  |AC| = pierwiastek[(1-(-1))^2 + (2-(-2))^2] = pierwiastek(20)
  |BC|= pierwiastek[(1-2)^2 + (2-(-1))^2] = pierwiastek(10)
  
  Obwód = 2* (pierwiastek(5) + pierwiastek(10))
  
  b)
  Zakładamy równanie prostej BC w postaci y = ax + b i wstawiamy współrzędne B i C.
  Dla B: -1 = 2a + b
  Dla C: 2 = 1a + b
  --------------------------- odejmujemy stronami
  -3 = a
  Wstawiamy "a" do drugiego równania: 2 = -3 + b ; stąd b = 5
  
  Równanie prostej BC: y = -3x + 5
  
  Wysokość wyprowadzona z A jest prostopadła do prostej BC i przechodzi przez punkt A. Jeżeli prosta jest prostopadła do danej to jej wsp. kierunkowy jest odwrotnością wsp. kierunkowego prostej danej z przeciwnym znakiem. W tym wypadku wsp. kierunkowy szukanej prostej to +(1/3).
  Prosta ma przechodzić przez A więc:
  -2 = (1/3) * (-1) + b ; stąd b = -5/3
  Równanie prostej zawierającej wysokość: y = (1/3)x - 5/3
  
  c)
  Środkowa trójkąta wyprowadzona z B przecina AC w połowie.
  Połowa odcinka AC to punkt P równy:
  P((-1+1)/2, (-2+2)/2) = P(0,0) - ładnie wyszło :)
  Poza tym prosta, zawierająca środkową ma przechodzić przez B.
  Zakładamy prostą w postaci y = ax + b.
  Od razu widać, że b = 0, gdyż prosta ma przechodzi przez (0,0).
  Wstawiamy do równania y = ax współrzędne punktu B
  
  -1 = 2a ; stąd a = -1/2. Równanie środkowej: y = (-1/2) x
  
  d)
  Gdyby środek okręgu opisanego leżał na wysokości z A to należałby i do tej wysokości i do środkowej wychodzącej z B, czyli byłby punktem przecięcia obu prostych.
  
  Środkowa z B i wysokość z A przecinają się w punkcie (x0,y0) spełniającym równania obu prostych, czyli:
  
  y0 = (1/3) x0 - 5/3
  y0 = (-1/2) x0
  
  Porównujemy prawe strony: (1/3) x0 - 5/3 = (-1/2) x0 ; stąd liczymy x0 = 2.
  Z drugiego równania dostajemy y0 = (-1/2) * 2 = -1.
  Punkt przecięcia to (2, -1)
  Ale ten punkt jest identyczny z punktem B.
  
  Gdyby środek okręgu opisanego (leżący na środkowej) należał do wysokości z A to byłby to właśnie obliczony punkt przecięcia. Ale punkt przecięcia to punkt B. Wierzchołek trójkąta nie może być środkiem okręgu opisanego.
  
  (nie jest to jedyna metod dowodu).

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie