Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 16.2.2013 (11:56)

  Ja bym robił to inaczej, ale ok, róbmy według planu.
  
  1.
  Równanie prostej AB zakładamy w postaci y = ax + b, potem przerobimy je na ogólną postać.
  Podstawiamy współrzędne punktów A i B do równania prostej:
  -2 = 1a + b
  3 = 2a + b
  -------------- odejmujemy stronami
  5 = a
  Wstawiamy 'a' do pierwszego równania: -2 = 1*5 + b ; stąd b = -7
  Równanie prostej: y = 5x - 7. Przenosimy y i dostajemy równanie w postaci ogólnej:
  5x - y - 7 = 0
  
  2.
  Czytaj ^2 jako "do kwadratu".
  Długość |AB| znajdujemy z tw. Pitagorasa odejmując współrzędne jak niżej:
  |AB| = pierwiastek[(2-1)^2 + (3-(-2))^2] = pierwiastek(1+25) = pierwiastek(26)
  
  3.
  Obliczamy h. Ponieważ pole trójkąta P = (1/2) * h * |AB| to
  h = 2 * 8 / pierwiastek(26) = 16 / pierwiastek(26)
  
  4.
  Wzór na odległość punktu o współrzędnych (x0, y0) od prostej Ax + By + C = 0 jest następujący (użyję LaTeX'a, bo wzór jest skomplikowany). Po drugim znaku równości podstawiam A, B, C dla prostej otrzymanej w punkcie (1).
  
  d=\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|5x_0 - y_0 - 7|}{\sqrt{5^2+1^2}}=\frac{|5x_0 - y_0 - 7|}{\sqrt{26}}
  
  Wielkość 'd' jest tym samym, co 'h'. Podstawiamy 'h' z punktu (3), mnożymy przez pierwiastek(26) i mamy prostszą zależność:
  
  |5x_0 - y_0 - 7| = 16
  
  5.
  Współrzędne (x0,y0) punktu C leżącego na prostej 2x + y - 2=0 spełniają równanie:
  
  2x_0 + y_0 - 2=0
  
  6.
  Rozwiązaniami są pary (x0, y0) które spełniają jednocześnie równania z punktu (4) i (5).
  Zauważ, że w punkcie (4) jest |...|. Spodziewamy się więc dwóch rozwiązań. Geometrycznie wygląda to tak: Równanie z |...| w punkcie (4) opisuje dwie proste równoległe do AB, odległe o 'h' od AB. Prosta 2x + y - 2=0 przecina te dwie proste w 2 puntach i to będą rozwiązania.
  
  Do rozwiązania jest więc układ równań (pomijam indeksy "0" dla uproszczenia zapisu)
  
  |5x - y - 7| = 16
  2x + y - 2 = 0
  
  Przypadek (a). 5x - y - 7 >= 0 i możemy skasować |...| w pierwszym równaniu. Mamy:
  5x - y - 23 = 0
  2x + y - 2 = 0
  ------------------ dodajemy stronami
  7x = 25
  x = 25/7 oraz z pierwszego równania: y = 5x - 23 = 5*(25/7) - 23 = -36/7
  y = -36/7
  Sprawdzamy, czy spełniony jest warunek 5x - y - 7 >= 0
  5 * (25/7) - (-36/7) - 7 = 16. Jest to większe od zera, rozwiązanie jest poprawne.
  
  Przypadek (b). 5x - y - 7 < 0 zastępujemy |...| przez -(...) Mamy:
  -(5x - y - 7) = 16 ; czyli
  
  -5x + y + 7 = 16
  2x + y - 2 = 0
  ------------------ odejmujemy stronami drugie od pierwszego
  -7x + 9 = 16
  x = -1 oraz z pierwszego równania: y = 5x + 9 = 5*(-1) + 9 = 4
  y = 4
  Sprawdzamy, czy spełniony jest warunek 5x - y - 7 >= 0
  5 * (-1) - 4 - 7 = -16. Jest to mniejsze od zera, rozwiązanie jest poprawne.
  
  Ostatecznie mamy dwa punkty spełniające warunki zadania:
  
  C1 = (25/7, -36/7)
  C2 = (-1, 4)
  
  Jak Ci zależy, to pozamieniaj te ułamki w C1 na 3 i 4/7 oraz -(5 i 1/7).
  Zaznaczam, że istnieje duuużo prostszy sposób rozwiązania tego zadania, ale miało być w/g PLANU.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie