Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 16.2.2013 (16:21)

  Wykresy:
  
  a) (załącznik wykresA.jpg). Rysujesz kolejno wykresy [czytaj ^ jako "do potęgi" ]
  y = 2^x (czerwony)
  odbijasz symetrycznie względem osi OX (zielony), masz y = -2^x
  przesuwasz o 1 w górę (niebieski, częściowo czarny), masz 1 - 2^x
  wszystko, co pod osią OX odbijasz symetrycznie względem poziomej osi (czarny)
  Dostajesz y = |1 - 2^x|
  
  b) (załącznik wykresB.jpg). Rysujesz kolejno wykresy:
  y = 3^x (czerwony)
  przesuwasz w lewo o 1 (zielony), masz y = 3^(x + 1)
  przesuwasz w dół o 4 (niebieski, częściowo czarny), masz y = 3^(x + 1) - 4
  wszystko, co pod osią OX odbijasz symetrycznie względem poziomej osi (czarny)
  Dostajesz y = |3^(x + 1) - 4|
  
  c) (załącznik wykresC.jpg). Rysujesz kolejno wykresy:
  y = 2^(-x) (czerwony)
  przesuwasz w lewo o 2 (zielony), masz y = 2^(2-x)
  przesuwasz w dół o 3 (niebieski, częściowo czarny), masz y = 2^(2-x) - 3
  wszystko, co pod osią OX odbijasz symetrycznie względem poziomej osi (czarny)
  Dostajesz y = |y = 2^(2-x) - 3|
  =====================
  
  Obliczenia dla parametru m
  
  a) (załącznik wykresAm.jpg). Wykres pokazuje przykładową sytuację (dla m = 0,5)
  gdy równanie f(x) = m posiada 2 rozwiązania. Teraz robimy to algebraicznie.
  Na pewno ma być m > 0, ale nie dowolnie duże.
  Z prawej strony dowolna pozioma prosta na pewno przetnie wykres, ale z lewej dla x dążącego do -oo wykres staje się płaski więc m < 1.
  Z tej analizy wynika, że m należy do przedziału (0,1).
  
  Rachunki:
  1. Jeżeli 1 - 2^x >= 0, czyli gdy 1 >= 2^x czyli gdy x <= 0 pozbywamy się |...|
  i dostajemy równanie:
  
  1 - 2^x = m ; czyli 1 - m = 2^x
  
  Bierzemy logarytm o podstawie 2 z obu stron: log_2(1 - m) = x
  Dziedziną jest zakres m < 1 bo liczba logarytmowana ma być dodatnia.
  Czyli dla m < 1 mamy 1 rozwiązanie w tym przypadku.
  
  2. Jeżeli 1 - 2^x < 0, czyli gdy x > 0 zachodzi: |1 - 2^x| = -(1 - 2^x)
  i dostajemy równanie:
  -1 + 2^x = m ; czyli 2^x = m + 1
  Bierzemy logarytm o podstawie 2 z obu stron: log_2(1 + m) = x
  Dziedziną jest zakres m > -1 bo liczba logarytmowana ma być dodatnia.
  Czyli dla m > -1 mamy 1 rozwiązanie w tym przypadku.
  
  Jednak weźmy pod uwagę jeszcze początkowy warunek m > 0.
  Łącząc wszystkie warunki dostajemy na m przedział (0,1) wyprowadzony wyżej na podstawie rysunku.
  
  b) (załącznik wykresBm.jpg). Wykres pokazuje przykładową sytuację (dla m = 3)
  Analogicznie ma być m > 0.
  Po prawej stronie osi Y zawsze będzie jedno rozwiązanie.
  Po lewej stronie jedynie do pewnej dodatniej wartości m. Rachunki jak poprzednio:
  
  1. jeżeli 3^(x+1) - 4 >= 0 czyli gdy 3^(x+1) >= 4 czyli gdy x >= -1 + log_3(4)
  [log_3 to logarytm o podstawie 3 ], pozbywamy się |...|
  
  3^(x+1) - 4 = m ; stąd 3^(x+1) = m + 4
  x + 1 = log_3(m + 4)
  x = -1 + log_3(m + 4)
  Dziedziną jest zakres m > -4 bo argument logarytmu musi być dodatni.
  Ale z początkowego warunku wynika, że m > 0, ten warunek jest silniejszy, czyli
  m > 0
  Zauważ, że dla m > 0 otrzymujemy x > -1 + log_3(4) czyli te rozwiązania należą do dziedziny.
  
  2. jeżeli 3^(x+1) - 4 < 0 czyli gdy x < -1 + log_3(4) zmieniamy znak:
  -[3^(x+1) - 4) = m ; stąd -3^(x+1) + 4 = m
  3^(x+1) = 4 - m
  x + 1 = log_3(4 - m)
  x = -1 + log_3(4 - m)
  Dziedziną jest zakres m < 4.
  Zauważ, że dla 0< m < 4 spełniony jest warunek x < -1 + log_3(4), czyli dostajemy rozwiązanie należące do zakresu gdzie należy zastąpić |...| przez -(...).
  Łączymy warunki: m należy do (0, 4)
  
  c)(załącznik wykresCm.jpg). Wykres pokazuje przykładową sytuację (dla m = 2)
  Analogicznie ma być m > 0.
  Po lewej stronie osi Y zawsze będzie jedno rozwiązanie.
  Po prawej stronie jedynie do pewnej dodatniej wartości m. Rachunki jak poprzednio:
  
  1. Dla 2^(2-x) >= 3 czyli gdy 2 - x >= log_2(3) czyli gdy x <= 2 - log_2(3)
  2^(2-x) - 3 = m
  2 - x = log_2(m + 3)
  x = 2 - log_2(m + 3)
  Dziedziną jest m > 3, co w połączeniu z m > 0 daje m > 0. Zauważ że założenie o pozbywaniu się |...| jest wtedy spełnione.
  
  2. Dla 2^(2-x) > 3 czyli gdy x > 2 - log_2(3)
  -(2^(2-x) - 3) = m
  2^(2-x) = 3 - m
  x = 2 - log_2(3 - m)
  Dziedziną jest m < 3
  Łączymy oba przypadki: m należy do (0, 3)
  
  Ufff!

  Załączniki

  • wykresa.jpg (7 KB)

  • wykresb.jpg (7 KB)

  • wykresc.jpg (8 KB)

  • wykresam.jpg (6 KB)

  • wykresbm.jpg (6 KB)

  • wykrescm.jpg (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie