Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 14.2.2013 (06:09)

  Będą asymptoty: pionowa i ukośna (bo ułamek dąży do 1 dla dużych x, funkcja zachowuje się jak 3x)
  
  1) Pionowa.
  Gdy x --> 1 mianownik ułamka dąży do zera. f(x) dąży wtedy do nieskończoności, co udowadnia się tak:
  Jeśli x dąży do 1 z prawej strony to można zapisać x jako:
  
  x = 1 + eps ; gdzie eps > 0 oraz eps --> 0
  
  f(x) = 3(1+ eps) + (1 + eps + 2) / (1 + eps - 1) = 3(1+eps) + (3+eps) / eps
  
  lim f(x) dla eps --> 0 = +oo
  
  Analogicznie podstawiając x = 1 - eps liczymy granicę z lewej strony jedynki.
  Wychodzi:
  
  f(x) = 3(1 - eps) + (1 - eps + 2) / (1 - eps - 1) = 3(1-eps) - (3-eps) / eps
  
  lim f(x) dla eps --> 0 = -oo
  
  Funkcja dąży do +/- nieskończoności z obu stron x = 1 więc
  x = 1 jest równaniem asymptoty pionowej.
  ===================
  
  2) Ukośne (mogą być dwie).
  Oblicza się je jako proste y = ax + b gdy x --> + lub -oo.
  Wzory są takie
  
  a = lim [f(x) / x] gdy x --> + lub - oo. Liczymy "a".
  
  f(x) / x = 3 + (x + 2) / [x (x - 1)] = 3 + (1 + 2/x) / (x - 1)
  
  Niezależnie czy + czy -oo, licznik ułamka --> 0, mianownik do oo, cały ułamek --> 0.
  Wobec tego a = 3 dla obu nieskończoności.
  
  b = lim [ f(x) - ax ] dla x dążącego do +/-oo
  
  Wstawiamy a = 3
  f(x) - 3x = 3x + (x + 2)/(x - 1) - 3x = (x + 2)/(x - 1) = (1 + 2/x) / (1 - 1/x)
  
  Zapis po prawej stronie jest taki aby pokazać, że
  lim [ f(x) - ax ] = 1 dla każdej z nieskończoności (bo 2/x oraz 1/x --> 0)
  Wobec tego b = 1 dla obu nieskończoności.
  
  Jest tylko jedna asymptota ukośna: y = 3x + 1
  ===================
  
  Wystarczająco "krok po kroku"? W razie czago pisz na priv.
  Aha: nie ma asymptot poziomych bo te wymagałyby, aby f(x) --> 0 w nieskończoności, a przecież nie dąży, bo ma asymptotę ukośną.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie