Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 24.1.2013 (11:53)

  e) Wyciągamy przed pierwiastek największą liczbę. Ułamki (4/5)^n i (3/5)^n dążą do zera.
  
  =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[5]{5^n}\sqrt[5]{\left(\frac{3}{5}\right)^n+\left(\frac{4}{5}\right)^n+1}=5
  
  f) Dzielimy licznik i mianownik przez 4^n (zauważ, że (2^n)^2 = 4^n)
  
  =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1/2^n-1}{1-3/2^n+1/4^n}=\frac{-1}{1} = -1
  
  g) Wprowadzamy "sztuczny mianownik", tak, jak przy pozbywaniu się niewymierności. Licznik jest stały a mianownik dąży do oo, całość dąży do zera.
  
  =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(6n-\sqrt{36n^2+7})(6n+\sqrt{36n^2+7})}{6n-\sqrt{36n^2+7}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{36n^2-36n^2-7}{6n+\sqrt{36n^2+7}}=0
  
  h) Korzystamy z twierdzenia, że gdy a_n dąży do zera to wyrażenie:
  (1 + a_n)^(1/a_n) dąży do liczby 'e'. Wyraz a_n = 6/n, robimy tak:
  
  =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{6}{n}\right)^\frac{n}{6}\right]^6 = e^6
  
  i) Dzielimy licznik i mianownik przez n^2, jak w przykładach a..d. Ale teraz jest inaczej:
  
  =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(5+7/n^2)(n+1)}{(4+1/n)(3+2/n)}=+\infty
  
  j) Licznik jest sumą liczb od 1 do n mnożoną przez 3. Zapisujemy to, skracamy czynnik n+1, potem dzielimy licznik i mianownik przez n
  
  =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3\frac{n(n+1)}{2}}{(5n+3)(n+1)}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3/2}{5+3/n}=\frac{3/2}{5\cdot 1} = \frac{3}{10}

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie