Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 24.1.2013 (14:01)

  Okazuje się, że długość sprężyny 'd' nie jest potrzebna.
  
  Okres T obliczymy ze wzoru (M = 2m - masa połączonych ciał)
  
  T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}
  
  ale potrzebny jest współczynnik sprężystości 'k'.
  
  Wiemy, że sprężyna wydłużyła się o 'a' pod wpływem siły ciężkości F = mg,
  (g - przyspieszenie ziemskie) więc:
  
  mg = ka ; stąd k = mg / a ; wstawiamy k do wzoru na okres:
  
  T = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{\frac{mg}{a}}}=2\pi\sqrt{\frac{2a}{g}}
  
  Wynik nie zależy od masy, ale to nic dziwnego, bo masa "siedzi" w wydłużeniu 'a'.
  Wymiar wyniku, zakładając, że [ a ] jest w metrach:
  
  [T] = \sqrt{\frac{m}{m/s^2}}=\sqrt{s^2}=s
  
  ===================
  
  Amplitudę A znajdujemy ze wzoru na energię całkowitą E oscylatora.
  
  E = \frac{1}{2}kA^2\qquad\mbox{zatem}\qquad A = \sqrt{\frac{2E}{k}}
  
  "k" już mamy z pierwszej części, liczymy energię E, która w chwili rozpoczęcia ruchu jest energią kinetyczną połączonych mas.
  NIE można powiedzieć, że jest to różnica energii potencjalnej masy, która spada, bo część tej energii poszła na ciepło. Skorzystamy z zasady zachowania pędu. Masa m spadając z wysokości 'a' ma prędkość v, którą liczymy z zasady zachowania energii:
  
  \frac{1}{2}mv^2 = mga\qquad\mbox{zatem}\qquad v^2=2ga
  
  Gdy masy się skleją poruszają się z prędkością 'u'. Zasada zachowania pędu daje:
  
  mv + 0 = 2mu ; stąd u = (1/2) v ; albo inaczej: u^2 = (1/4)v^2
  
  Wstawiamy energię kinetyczną, w której podstawiamy u^2 i potem v^2
  
  E = (1/2)\cdot(2m)\cdot u^2 = (1/4) mv^2 = (1/2)mga
  
  oraz 'k' do wzoru na amplitudę:
  
  A = \sqrt{\frac{2\cdot(1/2)mga}{mg / a }}=\sqrt{a^2}=a
  
  czyli amplituda jest równa początkowemu wydłużeniu sprężyny.
  
  Mam nadzieję, że się nie pomyliłem w tych 1/2, 1/4 itp.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie