Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 23.1.2013 (07:53)

  7.34
  W każdym z przykładów trzeba tak przekształcić wyrażenie na e_n, aby było podobne do podanego w zadaniu, tzn jeśli w nawiasie jest a_n, to w wykładniku ma być 1/a_n. Poza tym używamy twierdzenia, że jeśli granica ciągu e_n jest skończona i wynosi E to granica ciągu (e_n)^k wynosi E^k.
  Zobacz na przykładach.
  Aha, nie piszę tych wszystkich "lim..." tylko strzałkę "dąży do". Jeśli nauczyciel wymaga to trzeba "lim" dopisać, jak w przykładzie (a)
  
  a)
  Składnik a_n jest równy 6/n i dąży do 0, założenie twierdzenia podanego w zadaniu jest spelnione, w wykładniku mamy mieć odwrotność, czyli n/6.
  Robimy tak Dzielimy i mnożymy wykładnik przez 6:
  
  e_n = \left[\left(1+\frac{6}{n}\right)^{n/6}\right]^6=\left[\left(1+a_n\right)^{1/a_n}\right]^6\rightarrow e^6
  
  Pełny zapis:
  \lim\limits_{n\rightarrow\infty}e_n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{6}{n}\right)^{n/6}\right]^6=\left[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+a_n\right)^{1/a_n}\right]^6= e^6
  
  b)
  Druga "sztuczka" do zadań tego typu: Aby dostać w nawiasie postać 1 + a_n dodaję i odejmuję 1 w liczniku, ale pojawia się znak minus przed 1/(n+1) więc wykładnik też mnożę i dzielę przez -1:
  
  e_n=\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^{n+1}=\left[\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{-1}}\right]^{-1}\rightarrow e^{-1}
  
  c)
  a_n to będzie 3/n, trzeba wykładnik doprowadzić do potrzebnej postaci. Zauważ, że + w wykładniku to mnożenie jak niżej, a granica ułamka (n+3)/n w nieskończoności to 1.
  
  e_n=\left(1+\frac{3}{n}\right)^n\left(\frac{n+3}{n}\right)^2=\left[\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n/3}\right]^3\left(\frac{n+3}{n}\right)^2\rightarrow e^3\cdot 1^2 = e^3
  
  d)
  Bez cudów. Stosujemy sztuczkę jak w (a), a_n = -2/n.
  
  e_n=\left[\left(1+\frac{-2}{n}\right)^{\frac{n}{-2}}\right]^2\rightarrow e^2
  
  e)
  a_n = 1/n^2 i sztuczka jak w (a)
  
  e_n = \left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^2\rightarrow e^2
  
  f)
  Łączymy sztuczki z (a) i z (c). a_n = -7/n
  
  e_n = \left[\left(1+\frac{-7}{n}\right)^{\frac{n}{-7}}\right]^{-7}\,\left(\frac{n-7}{n}\right)^{-1}\rightarrow e^{-7}\cdot 1^{-1} = \frac{1}{e^7}
  
  g)
  a_n = -1/n^2
  
  e_n = \left[\left(1+\frac{-1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{-1}\right]^{-1}\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{-1}\rightarrow e^{-1}\cdot 1^{-1} = \frac{1}{e}
  
  h)
  a_n = 3/n^3
  
  e_n = \left[\left(1 + \frac{3}{n^3}\right)^{\frac{n^3}{3}}\right]^9\rightarrow e^9

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie