Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 23.1.2013 (08:47)

  7.29
  Wszystkie zadania z pierwiastkami robi się tak samo:
  Wyciąga się przed pierwiastek największą liczbę która tam jest w potędze n
  a to, co zostanie, dąży do 1. Zobacz na przykładzie:
  
  a)
  a_n = \sqrt[n]{5^n}\,\,\cdot\,\,\sqrt[n]{\left(\frac{4}{5}\right)^n+1} =5\cdot\sqrt[n]{\left(\frac{4}{5}\right)^n+1}
  
  Gdy n --> oo to ułamek (4/5)^n dąży do zera, całe wyrażenie pod pierwiastkiem dąży do 1.
  Granica iloczynu, gdy granice czynników są skończone (a tutaj są) jest równa iloczynowi granic więc odpowiedzią do zadania jest 5
  
  b)
  Wyciągasz 8/7 przed pierwiastek i masz analogiczną sytuację. Wynik: 8/7
  
  c)
  Jak się domyślasz: 8
  
  d)
  Jak się domyślasz: 17
  
  e)
  Sinus jest w zakresie -1 do 1, więc możemy napisać tak:
  
  -\frac{n}{(3n-1)^2} \leqslant a_n \leqslant \frac{n}{(3n-1)^2}
  
  Ponieważ
  
  \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{(3n-1)^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{9n-6+\frac{1}{n}} = 0
  
  (w mianowniku 1/n --> 0, 9n --> oo więc 1/(9n) --> 0)
  
  z twierdzenia o 3 ciągach: mamy granicę a_n z obu stron ograniczoną zerami,
  więc lim a_n = 0
  
  Analogicznie zerami są granice w f, g, h.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie