Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 18.1.2013 (13:39)

  Zadanie 5.3 a)
  Krok 1: Dla n = 1 równość jest prawdziwa, bo:
  lewa strona L = 1 / (1 * 6) = 1 / 6
  prawa strona P = 1 / (5 * 1 + 1) = 1 / 6
  Krok 2: Zakładamy, że równość jest prawdziwa dla jakiegoś "n".
  Sprawdzamy prawdziwość dla n + 1.
  Lewa strona:
  L=\frac{1}{1\cdot 6}+...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}+\frac{1}{[5(n+1)-4][5(n+1)+1]}
  Sumę ułamków po lewej stronie, z wyjątkiem ostatniego ułamka, na mocy założenia indukcyjnego zastępujemy prawą stroną dla "n". Przy okazji wymnażamy częściowo nawiasy w ostatnim ułamku:
  L=\frac{n}{5n+1}+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}
  Sprowadzamy sumę do wspólnego mianownika (zauważ, że 5n+1 się powtarza) i przedstawiamy jak niżej, aby było widać zależność on "n+1"
  L=\frac{n(5n+6)+1}{(5n+1)(5n+6)} = \frac{5n^2+6n+1}{(5n+1)(5n+6)}=\frac{(n+1)(5n+1)}{(5n+1)(5n+6)}=\frac{n+1}{5(n+1)+1}
  Jak widać lewa strona jest równa prawej gdy za 'n' podstawimy 'n+1', co kończy dowód. Licznik w wyrażeniu powyżej rozbiłem na nawiasy korzystając ze wzorów Viete'a (a tak naprawdę z programu i przewidywaniu tego, co ma wyjść :)
  --------------------------------
  
  Zadanie 5.3 b)
  Powtórz DOKŁADNIE to samo rozumowanie, tylko zmień 5 na 4, też wyciągniesz 4n+1 przed nawias w liczniku i skróci się z 4n+1 w mianowniku. Przy okazji zauważ (może to zaimponować nauczycielowi), że istnieje prawidłowość, którą też da się indukcyjnie udowodnić. Zamień w przykładzie 'a' 5 na 4 oraz 4 na 3, dostaniesz przykład 'b'. Dla K > 1 (być może też dla K = 1?, sprawdź!) zachodzi:
  \frac{1}{...}+...+\frac{1}{[Kn-(K-1)][Kn+1]}=\frac{n}{Kn+1}
  a metoda dowodu jest identyczna jak w 'a'.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie