Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 29.12.2012 (04:46)

  Zobacz rysunek w załączniku.
  Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w romb, kąt BFC = 60 stopni.
  Weźmy trójkąty OBF i OCF. Są one prostokątne, gdyż kąty OBF i OCF są proste, gdyż punty B i F są punktami styczności okręgu z rombem.
  Odcinki OB i OC są równe (jako promienie okręgu). Odcinek OF jest wspólny dla obu trójkątów więc:
  
  Trójkąty OBF i OCF są przystające. Poza tym kąty BFO i CFO są równe 30 stopni, gdyż czerwona przekątna HF musi być w rombie dwusieczną kąta BFC.
  
  Wobec tego odcinki FB i FC są równe, z symetrii wynika, że równe są także HA i HD, a także wszystkie krótsze odcinki EA, EB, GD, GC.
  
  Trójkąt BCF jest równoramienny, kąty BCF i CBF mają po 60 stopni.
  Trójkąt AEB jest równoramienny, kąty EBA i EAB mają po 30 stopni (bo kąt AEB = 120 jako kąt rozwarty rombu).
  Wobec tego kąt ABC = 180 - 60 - 30 = 90 stopni.
  Analogicznie dowodzi się, że kąty BAD, ADC i DCB także są proste więc czworokąt ABCD jest prostokątem.
  
  Przechodzimy do liczenia pola rombu. Oznaczmy długości boków prostokąta ABCD następująco:
  x = AB, y = BC. Iloczyn xy wynosi 3 * pierwastek(3) [ tak mówi zadanie ].
  
  Trójkąt BCF jest równoboczny więc BF = y
  W trójkącie ABE z twierdzenia sinusów mamy:
  EB / sin(30) = x / sin(120) więc EB = x * sin(30) / sin(120) = x / pierwiastek(3)
  Bok rombu BF + FB = y + x / pierwiastek(3).
  Pole rombu:
  
  P = (y + x\sqrt{3})^2\cdot \sin 60{}^\circ = (y^2 + 2xy\sqrt{3} + 3x^2)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
  
  Iloczyn xy mamy, ale potrzeba kwadratów x i y.
  Zauważ, że trójkąt ABC jest prostokątny i kat CAB = 60 stopni.
  Wobec tego y / x = tg(60) = pierwiastek(3) więc y = x * pierwiastek(3).
  Iloczyn xy = x^2 * pierwiastek(3) i jednocześnie xy = 3 * pierwiastek(3) więc
  x^2 = 3
  y^2 = [x * pierwiastek(3)]^2 = 9
  Wstawiamy wszystko do wzoru na pole rombu:
  
  P = (9 + 2\cdot 3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} + 3\cdot 3)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}
  
  Gotowe. Mam nadzieję, że się nie pomyliłem w liczeniu pola.

  Załączniki

  • romb.pdf (18 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie