Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 28.12.2012 (12:11)

  Zaznaczam, że długości odcinków piszę często bez znaków |...|.
  Na rysunku niepotrzebnie oznaczone są EC = x oraz CD = k - x,
  ale nie chce mi się już poprawiać rysunku. W każdym razie te odcinki nie są używane.
  Rysunek jest w załączniku.
  
  Najpierw ustalmy, o jaki kąt chodzi w zadaniu.
  Kąt między przecinającymi się płaszczyznami (tu: ścianami bocznymi) określamy tak:
  Najpierw rysujemy płaszczyznę prostopadłą do prostej wzdłuż której przecinają się ściany.
  Na rysunku w załączniku weźmy ściany boczne AED i EBD.
  Przecinają się one wzdłuż prostej ED.
  Tworzymy płaszczyznę prostopadłą do tej prostej. Można to zrobić na wiele sposobów, wybierzmy taką, która jest wygodna do obliczeń. Na rysunku jest to płaszczyzna ABC, przechodząca przez przekątną podstawy i przecinająca krawędź ED w punkcie C.
  
  Kąt nachylenia ścian bocznych jest to kąt ACB.
  
  Narysujmy w trójkącie ABC wysokość OC (punkt O jest środkiem podstawy ostrosłupa). Dzieli ona trójkąt ABC na 2 przystające, prostokątne trójkąty OBC i OAC (ponieważ AC = BC, OA = OB, OC jest bokiem wspólnym, kąty COB i COA są proste).
  Zaznaczmy w prostokątnym trójkącie OCB kąt OCB = alfa.
  BC jest przeciwprostokątną, OC jest przyprostokątną.
  
  Kosinus kąta np. alfa to stosunek OC / BC
  (czyli stosunek przyprostokątnej od której liczymy kąt do przeciwprostokątnej).
  
  To nie jest kosinus kąta ACB, ale posłuży do jego obliczenia, gdyż kąt ACB = 2 * alfa,
  a mamy taki wzór na kosinus podwojonego kąta:
  
  \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1
  
  Więc gdy wyznaczymy cos(alfa) to dostaniemy kosinus kąta ACB, szukany w zadaniu.
  Dążymy do obliczenia długości BC oraz OC
  
  Wprowadźmy kilka oznaczeń.
  Bok podstawy ma długość 2a ("dwa" dlatego, aby się ułamki nie pętały).
  Krawędź boczna ma długość 'k' (np. odcinek DG, ale także ED)
  Wysokość ściany bocznej ma długość 'd' (odcinek DF)
  
  Wykorzystamy warunek z zadania, że pole ściany bocznej to połowa pola podstawy.
  Pole podstawy to 4a^2 [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  więc pole ściany bocznej to 2a^2.
  Podstawę ściany bocznej stanowi odcinek o długości 2a (patrz trójkąt BGD)
  Pole trójkąta BDG = (1/2) * 2a * d), a jednocześnie to 2a^2.
  
  (1/2) * 2a * d = 2a^2 ; więc po skróceniu 2a mamy d = 2a.
  Z twierdzenia Pitagorasa z prostokątnego trójkąta GFD liczymy długość krawędzi bocznej 'k'.
  
  k = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
  
  Obliczymy jeszcze wysokość OD całego ostrosłupa, oznaczmy ją 'h'.
  Z tw. Pitagorasa, ponieważ OE jest połową przekątnej podstawy (oznaczoną 's')
  a trójkąt EOD jest prostokątne mamy:
  
  h=\sqrt{k^2-s^2} = \sqrt{5a^2-(a\sqrt{2})^2}=a\sqrt{3}
  
  Teraz weźmy pod uwagę prostokątny trójkąt EOD.
  Z jednej strony pole tego trójkąta to (1/2) hs
  Z drugiej strony pole trójkąta to (1/2) k * |CO| więc:
  
  k * |CO| = hs ; stąd:
  
  |CO| = \frac{hs}{k}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}} = a\sqrt{\frac{6}{5}}
  
  Mamy jeden z szukanych odcinków. Teraz bierzemy trójkąt prostokątny OCB. Z tw. Pitagorasa liczymy długość przeciwprostokątnej CB. Odcinek OC policzyliśmy, odcinek OB ma długość 's'.
  
  |CB| = \sqrt{|OC|^2 + s^2} = \sqrt{a^2\frac{6}{5}+(a\sqrt{2})^2} = \frac{4}{5}a\sqrt{5}
  
  Mamy drugi z szukanych odcinków. To już prawie koniec zadania.
  
  \cos\alpha = \frac{|CO|}{|CB|} = \frac{a\sqrt{\frac{6}{5}}}{ \frac{4}{5}a\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{8}}
  
  i ze wzoru na kosinus podwojonego kąta:
  
  \cos(2\alpha) = 2\cdot\left(\sqrt{\frac{3}{8}}\right)^2 - 1 = -\frac{1}{4}
  
  Kosinus szukany w zadaniu wynosi minus 1 / 4, co odpowiada kątowi około 104 stopni.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  pole podstawy = 2 * pole ściany bocznej

  Załączniki

  • ostroslup.pdf (26 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie